Matematické Fórum

Quimby · 26. 11. 2015 22:02

Dobrý večer, řeším takovouhle limitu:
$\lim_{x\to \infty } {x.(\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x} + x)}=?$
Úpravou podle vzorce na rozdíl druhých mocnin a roznásobením závorky jsem se dostal k:
$\lim_{x\to \infty } {x^2 + \frac{-3.x^3-2x^2}{\sqrt{x^2+2x}+2.\sqrt{x^2+x}}}$
Což podle Wolframu pořád vychází -1/4, tedy stejně jako původní limita. No, když to převedu na společný jmenovatel, tak dostanu:
$\lim_{x\to \infty } {\frac{x^2 .( \sqrt{x^2+2x}+2.\sqrt{x^2+x})-3.x^3-2x^2}{\sqrt{x^2+2x}+2.\sqrt{x^2+x}}}$
Poté z čitatele i jmenovatele vytknu nejvyšší mocninu:
$\lim_{x\to \infty } \frac{x^3}{x}{\frac{ \sqrt{1+\frac{2}{x}}+2.\sqrt{1+\frac{1}{x}} -3-\frac{2}{x}}{ \sqrt{1+\frac{2}{x}}+2.\sqrt{1+\frac{1}{x}}}}$
No, ale nevím co dál. Zkrátím žejo ty Xksy, ale nahoře mi zbyde $x^2$ .
Dokázal by mi někdo poradit prosím co s tím?

jelena · 26. 11. 2015 23:41

Zdravím,

to je možná překlep, ale v úvodním zápisu $\lim_{x\to \infty } {x.(\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x} + x)}=?$ máš úplně na závěr $...+x)$ ? Má být (jelikož dle jmenovatele pro rozšíření už toto $x$ není, nebo nevidím). Děkuji za upřesnění.

Bati · 27. 11. 2015 00:03

Ahoj ↑ Quimby:.
Uvědom si, že ten trik s rozšířením má význam jen pokud členy toho rozdílu "jdou do nekonečna stejně rychle". To znamená, že bys to měl spíš udělat takhle,
$x(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x)=x\frac{(x+\sqrt{x^2+2x})^2-(2\sqrt{x^2+x})^2}{x+\sqrt{x^2+2x}+2\sqrt{x^2+x}}$
protože oba ty členy v rozdílu jsou něco jako $2x$ . Upravíš, zkrátíš x a zjistíš, že stačí dopočítat limitu z
$x\sqrt{1+\tfrac2x}-x-1$ , což už asi dáš.

Quimby · 27. 11. 2015 20:27

↑ jelena:
Ve druhém kroku jsem ten třetí člen osamostatnil. Proto je tam $x^2$
Ve třetí kroku jsem to převedl na společného jmenovatele.

↑ Bati:
Já myslel, že to dělám kvůli tomu když vychází limity typu $\infty -\infty$
Každopádně moc děkuju, už mi to už vyšlo. Ještě přídám postup pro kontrolu popřípadě pro návštěvníky z budoucnosti.
Když to x před zlomkem vykrátím z jmenovatelem dostanu:
$\frac{(x+\sqrt{x^2+2x})^2-(2\sqrt{x^2+x})^2}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$
Po roznásobení závorek a úpravě
$\frac{(x^2+2x\sqrt{x^2+2x} + x^2+2x)-4(x^2+x)}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=2*\frac{x^2\sqrt{1+\frac{2}{x}} -(x^2+x)}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$
Rozšířím čitatele abych se zbavil odmocniny a upravím:
$2*\frac{x^2\sqrt{1+\frac{2}{x}} -(x^2+x)}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}} * \frac{x^2\sqrt{1+\frac{2}{x}} +(x^2+x)}{x^2\sqrt{1+\frac{2}{x}} +(x^2+x)} = 2*\frac{x^4+2x^3 -(x^4+2x^3+x^2)}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}} * \frac{1}{x^2(\sqrt{1+\frac{2}{x}} +(1+\frac{1}{x})}$
Což už se hezky vykrátí na tvar:
$-2*\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{2}{x}}+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}} * \frac{1}{(\sqrt{1+\frac{2}{x}} +(1+\frac{1}{x})}$
Když z to tedy vezmu limitu, vychází hezky -1/3

Al1 · 27. 11. 2015 20:39

↑ Quimby:

Zdravím,

hezký výpočet, nakonec ovšem vychází hezky -1/4

$-2\cdot \frac{1}{1+1+2}\cdot \frac{1}{1+1}$

Bati · 27. 11. 2015 23:03

↑ Quimby:
To rozšíření je zbytečný když třeba děláš limitu z $2x-x$ , což je taky typ $\infty-\infty$ . To se ti původně přesně stalo. Uvědom si, co tím rozšířením jde získat: Máš třeba limitu z $\sqrt{x+\tfrac1{x^2}}-\sqrt{x}$ pro $x\to+\infty$ . Tady už by mělo být od pohledu jasný, že to půjde k nule, ale otázka je jak rychle, protože před tím může stát ještě třeba $x$ a budeme chtít počítat limitu z $x(\sqrt{x+\tfrac1{x^2}}-\sqrt{x})$ . To, jak rychle to jde k nule zjistíš přesně tím rozšířením:
$\sqrt{x+\tfrac1{x^2}}-\sqrt{x}=\frac{\frac1{x^2}}{\sqrt{x+\tfrac1{x^2}}+\sqrt{x}}=\frac1{\sqrt{1+\frac1{x^3}}+1}\cdot x^{-\frac52}\approx \tfrac12x^{-\frac52}$ .
Je to vlastně aproximace prvního řádu.

Quimby · 28. 11. 2015 13:30

↑ Al1:
Samozřejmě, sem myslel -1/4, jen sem si to po sobě zas nepřečetl...ale díky za opravu.

↑ Bati:
Aha, s aproximací jsem si to nikdy nespojil. Děkuju za vysvětlení, ještě si na to zkusím spočítat pár příkladů.

jelena · 28. 11. 2015 21:13

Zdravím,

jelikož již téma vyřešeno a nebudu narušovat diskusi, tak můj dotaz byl k zápisu:

$\lim_{x\to \infty } {x^2 + \frac{-3.x^3-2x^2}{\sqrt{x^2+2x}+2.\sqrt{x^2+x}}}$ , kde v jmenovateli nevidím "sdružený" zápis k čitateli $(\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x} + x)$ , kde je na závěr ještě $+x$ . A tak je v celém 1. příspěvku. Jen zda to byl překlep, který se potom okopíroval? Děkuji.

Al1 · 28. 11. 2015 22:32

↑ jelena:

Zdravím,
myslím, že v prvním příspěvku Quimby nejprve roznásobil
$\lim_{x\to \infty } {x.(\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x} + x)}=\lim_{x\to \infty } {\big(x\cdot (\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x}) +x^{2}\big) }$ , pak první člen součinu rozšířil a upravil
$\lim_{x\to \infty }\bigg (\frac{x(\sqrt{x^2 + 2x} - 2.\sqrt{x^2 + x})(\sqrt{x^2 + 2x} + 2.\sqrt{x^2 + x})}{(\sqrt{x^2 + 2x} + 2.\sqrt{x^2 + x})}+x^{2}\bigg)$

a pak zjistil, že je tato úprava nesprávná a dal na radu Bati

jelena · 29. 11. 2015 14:03

↑ Al1:

děkuji za vysvětlení, vypadá to tak.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2015 22:02

Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#2 26. 11. 2015 23:41

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#3 27. 11. 2015 00:03

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#4 27. 11. 2015 20:27

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#5 27. 11. 2015 20:39

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#6 27. 11. 2015 23:03

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#7 28. 11. 2015 13:30

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#8 28. 11. 2015 21:13

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#9 28. 11. 2015 22:32

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

#10 29. 11. 2015 14:03

Re: Limita s odmocninou v nevlastním bodě

Zápatí