Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím! Dokazováním něčeho jsem došel k zajímavému poznatku, který neumím dokázat. Pokud to někdo umí, pak prosím o návod, protože by mě to zajímalo. Všimněte si, že:
Pro 13 už to psát nebudu, ale taky jsou všechny kromě dělitelné 13. Může mi někdo poradit, jak by to šlo dokázat? Nezdá se mi to jako náhoda...
Jinak, snadno se dokáže, že: ,
Asi by pomohlo najít nějaký vzorec, ale nejsem toho schopen. Jinak... Na závěr uvedu, jak mě napadlo dělat podobné věci. Jednoduše jsem si hrál s velkou fermatovou větou. Tedy:
Pro libovolné platí což se dokáže snadno indukcí. Potom pro prvočíselné a nesoudělná lze docela snadno odvodit následující:
1) nedělí . / asi chybne/
2) Existují nesoudělná , taková, že , , , , ,
(pozn. první je třeba dokázat (2) a z toho odvodit (1))
To vše jenom abych ukázal, že podle mě uvedené rozklady mají docela smysl. Pro důkazz (1) a (2) je potřeba jen hodnota , ale stejně by mě docela zajímaly ostatní. Za jakékoliv nápady bych byl vděčný!
Offline
↑ liamlim:
Ahoj,
1) je to opravdu tak, že n nedělí xyz? Mám pocit, že při důkazu VFV (alespoň pro regulární prvočísla) se právě rozlišují případy "n dělí" a "n nedělí". Můžeš prosím dokázat 2 a 1 detailněji?
2) Co znamená index z u ? - tedy není jedno a, ale tři (pro x,y a z)?
3) Píšeš, že , ale o kus výše vidím f(3,1)=-3, tak ja to tedy je?
4) Aby bylo možné využít, je nutné určit hodnotu f(n,0) pro libovolné n.
Offline
↑ check_drummer:
(1) Rozepíši
(2) To je nějaké celé číslo. Ta rovnost spolu s znamená, že pokud existují , , pro které věta platí, pak existují také , celá. Analogicky , atd.
(3) chyba. má být . Opravím.
(4) Dodefinujme pokud nebo
Offline
↑ liamlim:
Pokud správně chápu konstrukci čísel , tak dle Tvého značení platí
kde jsou nějaká celá čísla. Matematickou indukcí lze z tohoto a ze skutečnosti, že binomické koeficienty jsou vždy dělitelné číslem pro , je-li je prvočíslo, odvodit tu dělitelnost 5, 7, 13 apod. Všimni si, u 4 a u ostatních složených čísel dělitelnost platit nebude.
Offline
↑ Pavel:
Díky! To vypadá dobře. Zkusím nad tím ještě popřemýšlet.
↑ check_drummer:
Nejradši bych rád viděl, jestli se nenajde chyba v něčem, co jsem dosud napsal. Protože ten důkaz je takový psavý. Ale určitě ho napíši.
Offline
Důkaz části 2:
1. krok Označme nejvyšší společný dělitel čísel , jako . Potom pro nějaká celá , nesoudělná platí , . Zřejmě dělí , jak plyne z . Odsud - vzhledem k nesoudělnosti , plyne, že dělí .
2. krok Označme nejvyšší společný dělitel čísel , jako . Potom pro nějaká nesoudělná , platí
A platí, že dělí neboli dělí .
...
k-tý krok: Označme nejvyšší společný dělitel čísel , jako . Potom pro nějaká nesoudělná , platí
A platí, že dělí neboli dělí .
....
(n-1)-tý krok: Označme nejvyšší společný dělitel čísel , jako . Potom pro nějaká nesoudělná , platí
A platí, že dělí neboli dělí .
Odsud máme .
Tak, teď se podíváme, čemu se vlastně rovnají a . Máme:
Pokud není někde chyba v myšlence, pak bych teď rád ukázal, že součin
Nyní upravujeme:
Tak, skoro hotovo. Teď stačí dosadit již spočítané hodnoty a dojít k tomu, že se rovnost vydělí . Pak se stačí podívat se na nejmenší mocniny u všech výrazů v součtu a celou rovnost vydělit. Po tomto vydělení ve všech závorkách kromě té u vyjde alespoň druhá mocnina u . Přitom , což druhá mocnina není. Odsud plyne, že .
Po dosazení hned máme
.
Tedy ukázal jsem, v jakém tvaru jsou a .
Uf, snad jsem to dopsal. Samozřejmě je možné, že jsem někde něco přehlédl nebo něco úplně přesně neplatí. No nakonec kvůli tomuto "důkazu" jsem sem původně nepsal, protože mě jen zajímalo to s těmi prvočísly.
Offline
↑ liamlim:
Jak jsi prosím odvodil ?
Stále jsi neurčil f(n,0).
v posledním příspěvku - tvá úvaha dlé mého selže, pokud bude některé .
Offline
↑ check_drummer:
Tedy odvození:
To vynásobím (x+y) a dostanu: (teď budu místo psát 1. Tím nepřijdu o žádnou informaci, rovnost bude poté stačit zhomogenizovat (alespoň tuším že se tomu tak říká)
Odsud
Teď to převedu na jednu sumu. Aby byl převod jednodušší, zavedu si a . S tímto již mohu beztrestně provézt:
Odsud ale již přímo plyne což po dosazení n namísto n+1 dává dokazované.
Pozn. Hodnoty lze taky odvodit pouze z toho vzatahu. Pokud namísto všech "divných" členů dosadíme 0. Vychází takto: 0 pro liché n, 2 pro dělitelné 4 a -2 pro ostatní
Offline
Všiml jsem si nové věci. Pro prvočíselná platí, že součet všech je roven 1. Alespoň pro všechna do n = 13. Dále jsem to ručně nezvládl počítat. To mi přijde fascinující. Nemáte nápad, jak to dokázat?
Offline
Prostřednictvím derivací lze ukázat, že pro platí
Člen lze vyjádřit také bez diferenciálního operátoru jako k-1 do sebe vnořených sum a součinů. Zápis je však poněkud komplikovanější.
Offline
↑ liamlim:
Ahoj, napadl mě důkaz vskutku geniální (a to se nerad chválím - asi už je pozdě):
Volme jako x,y (komplexní) čísla splňující x.y=1 a x+y=1 - a potom se tvé vztahy velmi zjednoduší na , kde c je součet koeficientů f(p,i). Chceme dokázat, že c=0 - tedy jinými slovy, že . Ovšem , tj. x,y tvoří vrcholy pravidleného šestiúhelníka. A protože (teď to přijde) každé prvočíslo je tvaru , tak bude - a tedy (protože x+y=1). Skvělé, že? Asi z toho neusnu. :-)
Offline
Pro úplnost uvádím vyjádření koeficientů pro sudé argumenty prostřednictvím sum:
kde .
Offline
↑ Pavel:
To je až tak úžasné, že si neumím představit odvození tohoto. Ale když už jsme u toho vyjádření sudých...
Pak platí následující:
Tedy
Neboli
platí dokonce:
pozn: zase jsem pro přehlednost vypustil které lze snadno doplnit.
Snadno lze rozmyslet, že po roznásobení závorky na pravé straně vlastně dostaneme hledaný tvar. Tedy podle mého názoru by se nejvíc hodilo nalézt nějaké vyjádření pro lichá... Ale i tak, neuvěřitelné, že lze něco podobného odvodit.
Offline
Pozn. Všiml jsem si dalšího zajímavého faktu:
Důkaz tohoto by měl být lehčí. Vztah píší tak trochu pro zajímavost.
Jen tak mimochodem - neznáte někdo nějaký text o těchto číslech? v matice se napsalo už o všem a zrovna o těchto podivných číslech bych se rád dozvěděl víc.
Offline
↑ liamlim:
Koeficienty pro liché argumenty se mi zdály právě těžší. Jinak zde je zřejmě to, co hledáš. Ty koeficienty tomu nasvědčují.
Offline
↑ Pavel:
Díky. Jsem rád, že konečně vím, že se těm číslům říká Lucasova čísla. Je to vážně zajímavé. Už jen třeba ta souvislost s fibonacciho čísly...
Teď jsem přemýšlel taky nad další věcí. Zabýval jsem se vyjádřením součtu . Vlastně jsem vyjadřoval tuto hodnotu za pomoci , . Napadlo mě.. Co takhle zkusit vyjádřit
podle , , . Je jasné, že platí:
Pokud označím pak mám vyjádření posloupnosti rekurentně... Stačí doplnit , , .
Neznám generující funkce, ale myslím, že za pomoci toho se odvozovaly vzorce pro právě u podobných posloupností, ne? Nešlo by to i tady?
Z toho mnou napsaného vyjádření taky jde snadno vidět, že libovolný výraz tvaru lze zapsat jako součet nějakých součinů , , . Bohužel neumím přesně vyjádřit jakých. Ale toto mě vše baví.. Přemýšlet nad tím jen tak nepřestanu
...
Tedy má hypotéza je, že zase mají koeficienty co dělat s prvočísly :D někdo na dokázání?
Offline
liamlim napsal(a):
Ahoj, nechybí ti tam činitelé ?
Offline
↑ check_drummer:
chybí. Ale ti jdou snadno doplnit tak, aby součet mocnin odpovídal. Řekněme, že jsem zvolil
Offline
↑ liamlim:
Já jen jestli mají ty koefieinty f stále stejný význam... Takže mají.
Offline
↑ check_drummer:
Jak tam pracuji už s tím A, B, C, tak už ne! Tam jsem velmi nešťastně zvolil pro funkci stejný název, tedy f.
Offline
↑ liamlim:
Mohl bys sem prosím napsat vyjádření f i pro další hodnoty? nejen pro f(2) a f(7)? Lépe by se mi to pak zkoumalo.
Offline
↑ check_drummer:
Něco ještě lepšího. Zkusím dát návod, jak se to dělá. Vytvořit poté program, který vyjádření vytvoří by poté nemělo být těžké.
Toto jsou základní členy, ze kterých odvodíme všechny následující. Abychom spočítali pak vynásobíme číslem , číslem , číslem . A sečteme. Tedy:
atd.
Já ale počítám ty hodnoty trochu jinak. Ono když položíme (o žádnou informaci nepřijdeme. Zpětně stačí dosadit mocniny tak, aby součet odpovídal. S tím, že je za dvě a je za tři .) Pak máme:
Pravidlo se pro výpočet bez počítače zrychlí, protože nenásobíme jeden řádek, ale jen přičítáme.
Offline
mimochodem, odtud jde odvodit taky zajímavé věci. Volbou totiž získáme například, že
Pokud pak
Zase mám takové myšlenky zkusit dosadit místo , , nějaké té mocniny a zkusit něco zajímavého odvodit ale radši ne. Nad velkou fermatovou větou už jsem strávil dost času.
Offline
Dnes jsem si odvodil další zajímavý fakt ohledně součtů. Platí:
Jestliže pak pro přirozené liché platí:
Důkaz je snadný, ale odvození snadné nebylo :D Chtěl jsem nějaký pěkný vztah, ve kterém budu mít vyjádřeny součty. Ono totiž z tohoto snadno odvodíme, že pro libovolná platí
S tím, že teď už mám jen výrazy ve tvaru nebo . a ty jsem schopen nahradit za pomoci čísel . No toto ještě zkusím. Když už mám konečně ty prázdniny a můžu si odvozovat co mě baví.
EDIT: Označme pro . Pak označme též
Pak snadno nahlédneme, že:
Ostatní už odvodíme z těchto:
atd.
Obecně což je snadné ukázat.
Teď nějak přijít na to, jak obecně vyjádřit a dostaneme něco zajímavého.
Offline
liamlim napsal(a):
Obecně
Ahoj, zkus hledat hesla "diferenční rovnice" a/nebo hledat ve tvaru , resp. ve tvaru lineární kombinace dvou takových vyjádření.
Offline