Matematické Fórum

jardasmid · 17. 05. 2009 18:26

Mám funkci
$f(x) = H(t-2) - H(t^2+\ln{t})$

Dotaz zní: jak to zderivovat?

Kondr · 17. 05. 2009 19:24

Derivace Heaviside funkce je nula kromě jednoho bodu, kde neexistuje (resp. je nevlastní a rovna nekonečnu). Derivace této funkce bude rovna 0 všude kromě t=2 a t takového, že t^2=-ln(t). Takové t se dá najít buď numericky, nebo pomocí Lambertovy funkce.

WolframAlpha -- výsledek

Pavel Brožek · 17. 05. 2009 19:54

A pokud se nebudeme omezovat pouze na funkce, tak v zobecněných funkcích je derivace Heavisideovy funkce Diracova delta funkce. S její pomocí nalezneš derivaci tvé funkce.

Pavel Brožek

Jestli jsem se nespletl, tak

$(H(t-2) - H(t^2+\ln{t}))'=-\delta$t-\textrm{e}^{-\frac{W(2)}{2}}$+\delta(t-2)$ ,

kde W je Lambertova funkce, jak píše Kondr.

jardasmid · 18. 05. 2009 01:27

↑ BrozekP:

Teď mě napadlo, když je třeba funkce ln(t^2+t), tak je její derivace (1/(t^2+t))*(2t+1), to o heaviside funkci neplatí? No i když vlastně potom by se to násobilo nulou nebo nekonečnem, ale s nulou pak počítat dál můžu :-) Každopádně díky za rady.

A ještě dotaz na BrozekP, co je tamto řecký písmeno zač? Z kondrovy reakce vyvozuji, že nějaká funkce vracící pro každou hodnotu kromě nuly nulu?

Pavel Brožek

↑ jardasmid:

Ono i tady se dá použít pravidlo o derivaci složené funkce, ale z vlastností Diracovy delta funkce dostaneme stejný výsledek, jako když funkci $f(t) = H(t-2) - H(t^2+\ln{t})$ nahradíme stejnou funkcí $f(x) = H(t-2) - H$t-\textrm{e}^{-\frac{W(2)}{2}}$$ .

$(H(t-2) - H(t^2+\ln{t}))'=\delta(t-2)\cdot(t-2)'-\delta(t^2+\ln t)\cdot(t^2+\ln t)'=\nl =\delta(t-2)-\frac{\delta$t-\textrm{e}^{-\frac{W(2)}{2}}$}{|(t^2+\ln t)'|}\cdot(t^2+\ln t)'=\delta(t-2)-\delta$t-\textrm{e}^{-\frac{W(2)}{2}}$$

To řecké písmeno je delta, je to Diracova delta funkce (ve skutečnosti to není funkce, ale zobecněná funkce - distribuce). Doporučuji google.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2009 18:26

Derivace heaviside funkce

#2 17. 05. 2009 19:24

Re: Derivace heaviside funkce

#3 17. 05. 2009 19:54

Re: Derivace heaviside funkce

#4 17. 05. 2009 20:03 — Editoval BrozekP (17. 05. 2009 20:04)

Re: Derivace heaviside funkce

#5 18. 05. 2009 01:27

Re: Derivace heaviside funkce

#6 18. 05. 2009 16:51 — Editoval BrozekP (18. 05. 2009 16:53)

Re: Derivace heaviside funkce

Zápatí