Matematické Fórum

misak · 31. 05. 2009 14:13

Mám transformovat F(t) = e^-t do Fourierovy řady v komplexním tvaru, přičemž T = 2 a w = pi.

počítám-li cn:
$c_n = \frac{1}{T}\int_{a}^{a+T}{f(t)e^{-jnwt}dt} =\frac{1}{2} \int_{0}^{2}e^{-t(1+j\pi n)}dt = \frac{1-e^{-2}}{2(1+jk\pi)}$

Byl by prosím někdo tak hodný a objasnil mi, kam se ztratilo ve výsledku v čitateli e^(-2jnpi) ? Takhle je to ve skriptech, ale není to nijak vysvětleno.

jelena · 31. 05. 2009 17:03 — Editoval jelena (31. 05. 2009 19:04)

↑ misak:

Zdravím, nemám zrovna čas si to promyšlet, ani hledat, tak jen sdělím, že Bartsch povídá, že:

$e^{-2jn\pi}=1$

určitě to bude nejaký základní poznatek, který si mám vědet a pamatovat (простите, мой учитель моделирования процессов), pokud se mi to během úklidu rozleží, tak oznámím. Nebo někdo z kolegů, děkuji.

Editace 1: při luxování: asi to souvisí s přepisem do kompexního tvarua sice (sin(kpi)=0) může být?

Editace 2: po dokončeném úklidu:

tak jsem se podívala do Bartsche pořádně a v kapitole "komplexní čísla v exponenciálním tvaru má zvláštní hodnoty činitele $e^{\mathrm i\phi}$

$e^{2k\pi\mathrm i}=1$

$e^{(2k+1)\pi\mathrm i}=-1$

$e^{\frac{\pi}{2}\mathrm i}=\mathrm i$ atd.

toto si nevybavit, no to už je dost, opravdu - omluva i vyučujícícm z elektrotechniky :-)

misak · 31. 05. 2009 17:26

Aha. Tak to by mě tedy opravdu nenapadlo :-D Taky to do tech skript mohli napsat.

Moc díky.

misak · 01. 06. 2009 12:07

Tak abych nezakládal nové vlákno se stejným tématem. Mám problém s výpočtem jednoho příkladu. Mám rozvinout ve Fourierovu řadu v komplexním tvaru funkci f(t) = t, t z (0, 2pi>, určit vztah mezi reálnými a komplexními koeficienty a napsat i reálný tvar.

Takže postupuji takto:
Funkci periodicky prodloužím, určím T = 2pi a w = 1
pro výpočet cn použiju vztah
$c_n = \frac{1}{T}\int_{a}^{a+T}{f(t)e^{-jnwt}dt}$
což mi při dosažení a zintegrování dává
$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{te^{-jnt}dt} = ... = \frac{-e^{-jn2\pi}(jn2\pi+1)-1}{j^2n^22\pi} = \frac{jn2\pi+2}{n^22\pi}$
Takže fourierova řada v komplexním tvaru by měla vypadat takto:
$f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\frac{jn2\pi+2}{n^22\pi}e^{-jnt}}$
Pro určení vztahů mezi reálnými a komplexními členy bych používal vztahy
$\frac{a_0}{2} = c_0$
$a_n=c_n+c_{-n}$
$b_n=j(c_n-c_{-n})$

Jenže a0/2 vypočítat nemůžu, protože bych při dosazení za n=0 dělil nulou. Mám někde chybu nebo se to dělá jinak nebo tenhle příklad nejde převést do reálného tvaru (asi blbost)?

jelena · 01. 06. 2009 22:55 — Editoval jelena (01. 06. 2009 23:46)

↑ misak:

Doufám, že jsem tomu rozuměla spravně: f(t)=t, v tomto případě c_0 se vypočte dle vztahu:

$c_0 = \frac{1}{T}\int_{a}^{a+T}{f(t)dt}= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{tdt}$ , může být?

vztah 1.8.

Výpočet integrálu, jak uvádiš, mi vychází trochu jinak, ale raděj to ještě překontroluji.

Zdravím.

misak · 02. 06. 2009 16:24

Porozuměla jste tomu dobře. Tento vztah znám. Ale měli jsme ve skriptech ještě ten výše zmíněný, pro vztahy mezi komplexními a reálnými členy, ale u toho bych musel dělit nulou, což mě zarazilo. Dobrá, použiji tedy tento vztah.

Integrál jsem po sobě ještě jednou zkontroloval a vyšel mi opravdu trochu jinak.
Takže jestliže po opravě vyšel integrál
$\frac{\pi j n+1}{\pi n^2}$
pak Fourierova řada v komplexním tvaru bude
$f(t)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\frac{jn\pi+1}{n^2\pi}e^{-jnt}}$
člen a0 vypočítam ze vzorce, který jste uvedla:
$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}{t dt} =...= \pi$
a zbylé dva reální členy podle mých výše uvedených vztahů:
$a_n = c_n+c_{-n} = \frac{\pi jn+1}{\pi n^2}+\frac{1-\pi jn}{\pi n^2} = \frac{2}{\pi n^2}$
$b_n = j(c_n-c_{-n}) =j( \frac{\pi jn+1}{\pi n^2}-\frac{1-\pi jn}{\pi n^2}) = j\frac{2\pi jnj}{\pi n^2}=j\frac{2j}{n}=-\frac{2}{n}$

No a když z tohohle vytvořím Fourierovu řadu v reálném tvaru, měla by vypadat následovně:
$f(t) = \frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{\pi n^2}cos(nt)-\frac{2}{n}sin(nt))$

Myslíte, že můžu s tímhle výsledkem jít zítra před tabuli?

jelena · 03. 06. 2009 00:33

↑ misak:

Můj výsledek výpočtu integrálu je pořád jiný - a, bohužel, nejsem schopná najit chybu (pokud tam nějaká je, tak, prosím někoho z kolegu, ať to nějak uzavře, děkuji)

Zde je pouze integrál bez koeficientu 1/2pi:

$\int{te^{-jnt}dt} =t\cdot\frac{e^{-jnt}}{-jn}-\left(\frac{1}{-jn} \int{e^{-jnt}dt}\right)=-\frac{te^{-jnt}}{jn}-\frac{ e^{-jnt}}{j^2n^2}=-\frac{te^{-jnt}}{jn}+\frac{ e^{-jnt}}{n^2}$

Dosazení mezí:

$-\frac{2\pi e^{-jn2\pi}}{jn}+\frac{ e^{-jn2\pi}}{n^2}-\left(0+\frac{1}{n^2}\right)=-\frac{2\pi}{jn}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}=-\frac{2\pi}{jn}=\frac{2\pi j}{n}$

A výsledek (po násobeni $\frac{1}{2\pi}$ ) je $\frac{j}{n}$

Za případné nesmysly se omlouvám.

misak · 05. 06. 2009 17:23

Ano máte pravdu. Opravdu jsem tam někde, bohužel mi ještě nedošlo kde, dělal chybu já. Použije-li se Váš výsledek integrálu, vychází to už evidentně dobře, protože v reálném tvaru tam zůstane jen kosinus, což je u sudé funkce logické.
Moc díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2009 14:13

Fourierova řada v komplexním tvaru

#2 31. 05. 2009 17:03 — Editoval jelena (31. 05. 2009 19:04)

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#3 31. 05. 2009 17:26

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#4 01. 06. 2009 12:07

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#5 01. 06. 2009 22:55 — Editoval jelena (01. 06. 2009 23:46)

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#6 02. 06. 2009 16:24

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#7 03. 06. 2009 00:33

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

#8 05. 06. 2009 17:23

Re: Fourierova řada v komplexním tvaru

Zápatí