Matematické Fórum

Ahoj
Ano to je mozne pokial kazda zo 4roch  rozlicnych dlzok  je taka, ze je mensia  ako sucet troch ostatnych , vtedy existuju tri tetivove (vpisatelne do kruznice) stvoruholniky  z takymito dlzkamy a ich plocha je dana vzorcom , kde ( to je teorema od Brahmagupta)

↑ Anonymystik:

Ahoj, to, že ten obsah maximalizuje právě tětivovost, je jasné z Bretschneiderovy formule. Jde to ale vidět nějak jednodušeji?

Poznamka, ako ist este dalej.

Porozmyslat o stredoskolskej teoreme od Ptolémée moze byt uzitocne.(uci sa este stale na ss v cz, sk?)

Tu pridam nejake  vlasnosti vpisanych mnohouhokov.
Fantaticka teorema je japonska teorema :
Nech mame jeden konvexny  mnohouholnik vpisany do kruznice, potom pre kazdu triangularizaciu sucet polomerov vpisanych kruznic je konstatntny.

A este jedno zaujimave citanie https://arxiv.org/pdf/math/0407300v1.pdf

Zkusím na to juknout, vypadá to zajímavě.
Jinak takhle: syntetická geometrie je sice zajímavá věc, ale pokročilé partie nejsou zase tolik užitečné v praxi. Takže pokud někdo s matematikou moc nekamarádí, tak trápit ho s věcmi tohoto typu mi nepřipadá jako nejlepší možná náplň.

Na pokročilé syntetické geometrii obdivuji tři věci:
1) je to jedno z prvních míst, kde si žák může osahat, že matematika nemusí být nutně jen o tom něco spočítat, ale taky i něco dokázat. Navíc důkazy jsou často velmi elegantní myšlenky. Mnohdy se do obrázku musí něco chytře dokreslit, nebo přijít s nějakou netradiční strategií, jak úlohu řešit.
2) je docela názorná - například kombinatorika je taky krásná věc, ale někdo na to nemá buňky a nedokáže si to abstraktně představit. Názornost navíc taky souvisí do určité míry s "estetikou". Například Japanese theorem (úloha ze Sangaku) nebo Napoleonův trojúhelník jsou nádherné příklady toho, co tím myslím.
3) je provázaná a velice hluboká. V geometrii mám pocit, že každé tvrzení se dá dokazovat mnoha způsoby. Všechno má obvykle spoustu netriviálních a vizuálně zajímavých důsledků.

Bohužel, matematicky nenadaný člověk se ve složitějších důkazech ztratí a vysoká komplexnost spolu s provázaností mohou takového člověka spíš vyděsit/odradit. Navíc mnohdy k řešení je potřeba vysloveně nějaký chytrý trik, který člověka nemusí napadnout. Na hodinách tak dotyčný může mít pocit, že tomu rozumí, ale pak při písemce zjistí, že není sám schopen na něco takového přijít. Vymyslet trik je totiž mnohem těžší, než ho jen pasivně pochopit.

Celkově bych řekl, že syntetická geometrie rozhodně do středoškolské matematiky patří, protože podporuje systematické myšlení, kreativitu, vizuální představivost a dává nahlédnout studentům, o čem matematika je doopravdy. Nicméně praktický význam těch pokročilejších částí není tak velký a nemělo by se to asi úplně přehánět (třeba základy diferenciálního a integrálního počtu jsou věci, na které často na SŠ nezbude čas, ale IMHO je to taky dost důležité téma).

↑ vanok: No v dobách, kdy ještě nebyly počítače, rozhodně deskriptivní a projektivní geometrie měly své nezastupitelné místo. Dnes, spolu s mnoha chytrými softwary, se sice význam zmenšil, ale přesto mi připadá důležité, aby lidé měli nějakou základní představu o tom, jak věrně zobrazit věci v prostoru (perspektiva, apod.). Přinejmenším umělecky zaměření lidé, co rádi kreslí, by to mohli ocenit.
--
Analytická geometrie je fajn, nicméně od určité chvíle je to víceméně jen počítání bez nějakých náčrtků, apod. Přiznám se, že jsem procházel naši knihovnu na MFF UK a snažil jsem se najít nějakou pěknou knihu o diferenciální geometrii. Nicméně téměř všude se to jen hemžilo abstraktními vztahy (ideálně v n dimenzích), diferenciálními rovnicemi, atd. Málokde jsem narazil i nějaké hezké obrázky, aby si to člověk mohl nějak trochu představit. Což mě trochu odrazovalo od toho takové knížky číst. Nicméně jsou věci (jako třeba Theorema egregium), které si chci časem nějak nastudovat, protože mi připadá, že tak nějak patří ke všeobecnému přehledu.
--
Velmi doporučuji například knihu https://www.bookshop.cz/produkt/geometr … AsCV8P8HAQ
Je zde velmi dobře vyvážený poměr analytické a syntetické geometrie. Zahrnuje to euklidovskou, afinní, projektnivní, inverzivní, Lobačovského a sférickou geometrii. Je to moc hezky napsaná kniha.

↑ Anonymystik:,

Co sa tyka zaujimavych knih, vyuzi ich vzdy dat do vlakna na zaciatku  rubriky ostatne.
Pochopitelne mas aj ine geometricke casti matematiky.
Ako napr. differentialnu, algebricku, kombinatoticku, sympleticku a tiez geometricku algebru.... a ine.   A casto je suvis aj medzi inymi vetvami matematiky. Na niektorych univerzitach v ce , sk su mozno nejaky spécialisty na nejaky taky smer.

↑ check_drummer: V n-úhelníku, kde n je víc než 4, je příliš mnoho stupňů volnosti (konkrétně 2n-3), tutíž tětivovost ani spolu s délkami všech stran není určující podmínka pro jednoznačnou konstrukci. Jednoznačně určené je to právě jen pro n=4. Platí implikace, že n-úhelník s maximálním obsahem (při zadaných stranách) je určitě tětivový. To asi opravdu z mého důkazu plyne. Nicméně si nejsem jist, že každý tětivový n-úhelník se zadanými stranami má nutně maximální obsah. Spíš bych řekl, že ne.

↑ Anonymystik:
Ahoj,
a jsi si jistý, že neplatí tvrzení, že pro dané délky stran a,b,c,d,... existuje právě jeden n-úhelník (má-li po řadě délky těchto stran), který je vepsaný do kružnice (tj. je tětivový)? To, že je "tětivovost" jedno slovo ještě neznamená, že je to stejný druh informace jako např. že je dána délka jedné strany. Např. "pravidelnost" je také jedno slovo - ale spolu s délkou jedné strany již n-úhelník jednoznačně určuje (tedy vlastně nám k určení takového n-úhelník ustačí dvě "informace": délka strany a "pravidelnost").
Každopádně - máš nějaký protipříklad ke svému tvrzení? Já se pro změnu pokusím o jeho důkaz, budu-li mít čas.

↑ check_drummer: No jistý si nejsem. Zrovna dneska jsem nad tím přemýšlel. Kdybych třeba řekl, že mám tětivový n-úhelník s kružnicí opsanou o poloměru (zadaným) a stranami , vypadá to sice jen jako informací, ale lze si snadno rozmyslet, že až na polohu je konstrukce je jednoznačná. Ono totiž v té tětivovosti je schováno víc informací... Nicméně tady je to maličko jiný případ - my víme o existenci kružnice opsané, ale její konkrétní poloměr neznáme. Ještě si to promyslím. ;-)

↑ Anonymystik:
Podle mého stačí tato úvaha: Čím větší poloměr opsané kružnice, tím menší "středový" úhel odpovídá dané tětivě. To samo už stačí k tomu, že nelze tětivy předepsaných délek (strany toho n-úhelníka) vepsat do dvou kružnic rozdílných poloměrů - protože je-li pro jednu kružnici součet středových úhlů , pak pro druhou tomu tak dle výše uvedené úvahy nebude - a tedy tak nedostaneme tětivový n-úhelník.

Ahoj,
Zda sa mi ze predosle uvahy ukazuju, ze ak mame vpisarelny n-uholnik v kruznici polomeru R, tak do nej mozme vpisat aj vsetki take, ktorych strany su permutacia povodneho n-uholnika.

Poznamka.  Vybral som slovo " rovny" z↑ vanok:, lebo napr. degerovany 4-uholnik stran 1,2,3,6 nema ziadnu volnost ( co je pouzite v jej dokaze) a tak nemoze byt vpisatelny ( i ked plati vzorec teoremy). 

Intuicia ( ale to nestaci) by potvrdila hladana vysledok.
Geometricky dokaz zatial nevidim.
Ale kombinacia inducie a analyzy da pozitivnu odpoved, ze vpisatelny n-uholnik existuje.
( ale mame nieco podobne ako isoperimetricku nerovnost?....)
Myslienka.
Napr.  Ak mame 5  vhodnych dlzok, tak 4 z nich mozme vpisat do vhodnych kruznic rastucich polomerov....  vzdialenost obrazov  bodu 1 à bodu 4 je rastuca spojita funcia ( v euklidovskom priestore) ... atd

↑ Anonymystik:

Výpočet uvedený v příspěvku #11 platí pouze pro tětivový čtyřúhelník jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Pokud zaujímají jiný úhel, pak toto neplatí.