Matematické Fórum

myke · 08. 06. 2009 21:05 — Editoval myke (09. 06. 2009 18:01)

Libovolná hyperbola
libovolná(é) tečna(y) k ní => mám dokázat, že obsah všech trojúhelníků tvořených asymptotami a tečnou je konstantní (na tom obrázku v důkazu níže se tedy jedná o trojúhelníky PQO a P'Q'O)

důkaz v angličtině je zde: http://books.google.cz/books?id=SAx7WcS … #PPA123,M1 (omlouvám se, díky čárce z toho nejde udělat odkaz..)

celý důkaz chápu, až na tu poslední část - dokázání toho, že P'Q a PQ' jsou rovnoběžky (to je pro celá důkaz nutné a já tomu nerozumim)

anglicky je to napsáno takhle: The last is a diameter; therefore its pole, PQ' . P'Q, is at infinity, which means that PQ' and P'Q are parallel.

****

Mohli byste mi prosím někdo pomoct (vysvětlit tu poslední část důkazu nějak lidsky)? Dík moc

jelena · 21. 06. 2009 00:29

↑ myke:

Zdravím, procházela jsem úlohy, co nemaji odpověď, a je mi lito, že se zde nereagovalo (a nevím, zda reakce je ještě potřeba).

Ale jelikož v předchozích dnech se velmi aktivně reagovalo na sbírku úloh "kuželosečky", a to i přesto, že forma zadání této sbírky ani nebyla podle pravidel fora, tak bych byla rada, pokud by se někdo z kolegů zapojil i zde. Děkuji :-)

Bohužel, dostatečně srozumitelné vysvětlení závěru důkazu se mi zatim nedaří – je potřeba se podívat na kapitolu 8-6 (str. 114) v odkazovaném textu, ve kterém se vysvětluje princip stanovení obsahu "útvaru" pomocí konstrukce ekvivalentního (obsahově) rovnoběžníku.

Z analytiky bych provedla vypočet obsahu trojuhelníků pomocí vzorců pro obsah ( $\theta$ jsem oznacila uhel u vrcholu O):

$S_{OPQ} =\frac{|OQ|\cdot|OP|\cdot sin \theta}{2}$ , $S_{OP'Q'} =\frac{|OQ^{\prime}|\cdot|OP^{\prime}|\cdot sin \theta}{2}$

Délky úseček vypočteme ze vzdálenosti středu O (0, 0) a průsečíku asymptot a tečen. Můžeme počítat pro hyperbolu se středem (0, 0), jelikož hyperbolu s jiným stredem "vytvoříme" posunutím středu (0,0) do jiného středu.

Asymptota $y=\pm \frac{b}{a}x$ ,

Tecny: v bodě T[x1,y1]: ${xx_1\over a^2} - {yy_1\over b^2} =1$ , v bodě T[x2,y2]: ${xx_2\over a^2} - {yy_2\over b^2} = 1$

Společné body najdeme řešením soustavy rovnic, délky úseček, co představuji strany trojuhelníku také (standardní postup, nebudu vypisovat), dosadíme do vzorců pro obsahy trojuhelníků.

Ale jelikož analytické řešení není důkaz, který byl očekáván, tak zde již nebudu pokračovat a zkusím se více zaměřit na důkaz.

Kolegove?

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2009 21:05 — Editoval myke (09. 06. 2009 18:01)

Analytická geometrie - hyperbola

#2 21. 06. 2009 00:29

Re: Analytická geometrie - hyperbola

Zápatí