Matematické Fórum

velbloud · 09. 06. 2009 16:51

Chtěl bych se zeptat, jak vypočítat těžiště této plochy....

Rumburak · 09. 06. 2009 17:18

Souřadnice $x_T, \,y_T$ těžiště obrazce M (v rovině se souřadnicovou soustavou Pxy) jsou
$x_T=\frac {\int \int_{M}^{}x \,\text{d}x \,\text{d}y}{\int \int_{M}^{} \,\text{d}x \,\text{d}y}$ , $y_T=\frac {\int \int_{M}^{}y \,\text{d}x \,\text{d}y}{\int \int_{M}^{} \,\text{d}x \,\text{d}y}$ .

{Společný integrál ve jmenovateli je roven obsahu obrazce M.)

velbloud · 09. 06. 2009 17:30

↑ Rumburak: Mohl by někdo vypočítat alespoň to Xt? Není mi totiž moc jasný, co tam pořádně dosazovat..... Já sem to totiž původně počítal přes obsahy, jako složenou plochu... takže vždycky obsah krát vzdálenost těžiště jednotlivých polokružnic a to celý lomeno celkovým obsahem.... ale výsledek mě vychází divně.... Kdyby alespoň někdo dopočítal to Xt, tak by mi to pomohlo, díky :)

Rumburak

Obsah uvažovaného obrazce je zřejmě (i bez použití integrálu) roven obsahu půlkruhu o poloměru $2r$ .
Návod pro výpočet zbývajících integrálů (viz Fubiniova věta):

$\int \int_{M}^{}x \,\text{d}x \,\text{d}y = \int_{-2r}^{0}\,\int_{\sqrt{r^2 - (x + r)^2}}^{\sqrt{(2r)^2 - x^2}}x \,\text{d}y \,\text{d}x \,\,\, +\,\, \int_{0}^{2r}\int_{-\sqrt{r^2 - (x - r)^2}}^{\sqrt{(2r)^2 - x^2}}x \,\text{d}y \,\text{d}x$ ,

$\int \int_{M}^{}y \,\text{d}x \,\text{d}y = \int_{-2r}^{0}\,\int_{\sqrt{r^2 - (x + r)^2}}^{\sqrt{(2r)^2 - x^2}}y \,\text{d}y \,\text{d}x \,\,\, +\,\, \int_{0}^{2r}\int_{-\sqrt{r^2 - (x - r)^2}}^{\sqrt{(2r)^2 - x^2}}y \,\text{d}y \,\text{d}x$ .

(Nutno nepoplést integrační proměnné.)

velbloud · 10. 06. 2009 10:56

↑ Rumburak:
Já jsem to počítal tímto způsobem, výpočet přes integrál úplně nezvládám..... můžete mi říct, zda-li to mám alespoň dobře vypočtené přes ty plochy? Díky :)

Rumburak

Těžiště půlkruhu omezeného osou x a obloukem o rovnici $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ mi vyšlo $T = [0,\, \frac{4r}{3\pi}]$

Chápeme-li náš obrazec množinově jako $M = M_0 \cup M_r \backslash M_{-r}$ (označení je doufám zřejmé), pak, pokud jsem správně počítal,
obsahy těchto obrazců jsou $S_0 = 2\pi r^2, \,\,S_r = S_{-r} = \frac {1}{2}\pi r^2$ ,
jejich těžiště $T_0 = [0,\, \frac{8r}{3\pi}]$ , $T_r = [r,\, -\frac{4r}{3\pi}]$ , $T_{-r} = [-r,\, \frac{4r}{3\pi}]$ .
Takže pro souřadnice těžiště obrazce M by mělo platit
$x_T = \frac{2\pi r^2 \cdot 0 \,+\, \frac {1}{2}\pi r^2\cdot r \,-\, \frac {1}{2}\pi r^2\cdot (-r)}{2\pi r^2}$ , $y_T = \frac{2\pi r^2 \cdot \frac{8r}{3\pi} \,+\, \frac {1}{2}\pi r^2\cdot (-\frac{4r}{3\pi}) \,-\, \frac {1}{2}\pi r^2\cdot \frac{4r}{3\pi}}{2\pi r^2}$ .

velbloud · 10. 06. 2009 14:47

↑ Rumburak: Diky moc, tam u toho Xt jsem delal chybu, ze jsem dosazoval misto r hodnotu 4r/3pi..... nicmene si myslim, ze u toho celkoveho teziste by mela byt polovicni hodnota..... protoze obsah pulkruhu je pí krat r na druhou lomeno dvema..... a tady mame misto jednoho r, dve r, takze se dostaneme zpet na pi krat r na druhou, nikoliv na 2 pi krat r na druhou.....

Rumburak · 10. 06. 2009 15:01

Vezměme R= 2r > 0 . Obsah kruhu o poloměru R je $\pi R^2 = \pi (2r)^2 = \pi \cdot 2^2\cdot r^2 = 4\pi r^2$ .
Takže obsah půlkruhu o poloměru 2r je opravdu $2\pi r^2$ (a ne pouze $\pi r^2$ ) .