Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
V tomto vlakne osviezime niektore pojmy z rovinnej geometrie, tak aby sme ich mohli vyuzit na riesenie niektorych problemov.
Zacnime pojmom " osa uhlu"
Ak si nacrtnete situacie, tykajuce sa nasledujucych pojmov, iste text tu nizsie sa vam bude lepsie citat.
Neformalne povedane, uhol dany dvoma polpriamkamy je rozdeleny jeho osou na dva rovnake uhly.
V trojuholniku ABC, osy jeho uhlov su osy jeho uhlov (ktore prechadzaju cez jeho vnutrom).
Iste si spominate, ze tieto osy prechadzaju jednym bodom = stredom vpisanej kruznice trojuholnika.
Uloha: dokazte to.
Ak uvazujeme dve nerovnobezne priamky prechadzajuce cez dany bod A, tak konstatujete, ze tieto tvoria 4 uhly polopriamok vrcholu A. A tiez, ze ich osy po dnvoch su sa doplnuju na priamky co prechadzaju cez A.
A tiez ze ine osy su kolme po dvoch.
Dalsia uloha: dokazte posledne tvrdenie.
A este jedna otazka. Co viete o pripisanych kruzniciach trojuholniku ABC?
Poznamka. Akoze ani v sk ani v cz tieto pojmy nepouzivam, tak ak to chce niekto prepisat do viac pouzivaneho stylu, tak to moze kludne urobit.
Po vyrieseni otazok .... pride pokracovanie.😄
Offline
Riesenia tych dvoch otazok z #1 su asi velmi zname a nikto sa neodvazi napisat ich dokazy.
Pripisane kruznice sa dotykaju tiez vsetkych troch stran trojuholnika. ( dvak krat mimo trojuholnika a raz z jeho vnutornou stranov )
Ich stred je priesecnik dvoch vonkajsych osi a jednej vnutornej osy uhlov trojuholnika.
Casto sa oznaci stred vpisanej kruznice ako , a stredy pripisanych kruznic ako podla toho, ze sa dotykaju resp. stran ( vnutornych) trojuholnika.
Iste ste sa s tym stretli. No aspon dufam.
Offline
Ahoj ↑ vanok:
platí, že strany úhlů jsou tečny ke kružnici vepsané - když si vezmeme úhel ACB, tak platí SF = SI a protože SIC i SFC jsou pravé úhly (tečny) takže CI = CF. Bod S leží ve stejné vzdálenosti od strany AC i CB - leží tedy na ose úhlu ACB.
Kružnice přisaná je popsaná např. tady: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/ … ipsana.htm
Offline
Ano, zatial si si to dobre osviezila.
Zajtra tak pridam dalsie vlasnosti.
Nechcem ist priliz rychlo.... ale skor ucinne.
Offline
↑ akdar:,
To je skoro dobra myslienka.
Jednoduchsie.
Najcastejsie sa vyuzije, ze osy uhla ho delia na dve rovnake casti... a to ti umozni urobit rychly dokaz. (Ak pouzijes tvoj argument o priamom uhly, a to otocenie netreba.
Offline
↑ akdar:
Ano, staci zobrat " dobre " polovice.
Ina otazka : Aky je vztah medzi trojuholnikmy a ?
Offline
Pomoc (Doplnujuca otazka).
Co mozeme povedat o vyskach trojuholnika ?
Offline
↑ vanok:
vrcholy ABC jsou body kde výšky trojúhelníku protínají strany trojúhleníku .
Offline
Ahoj ↑ akdar:,
Ano. To sa da vyjadrit aj, ze sa povie je orticky trojuholnik trojuholnika .
Je vela inych vlasnosti. Ak to niekoho zaujima, tak ich mozeme rozvinut.
Ale zatial hovorme o vlasnostiach, ktore nam pomozu zo studiom o Apollonius-ovej kruznici.
Tak je uzitocne vysetrit metricke vlasnosti os trojuholnika .
Presnejsie najdime odpoved na :
Nech v jeho vnutorna osa cez pretina stranu v bode . Co mozeme povedat o vzdialenostiach , a ?
Offline
↑ vanok:
děkuji za nové informace:
orticky trojuholnik
co se týče vztahu AD k DB, tak pokud to mám dobře nakreslené:
Offline
↑ misaH:
Dakujem,
Preklep opraveny.
Offline
↑ akdar:,
To je nezavisla informacia.... ten orticky trojuholnik.
Ta co sa tyka AD, DB, CD to je ta vlasnost ( ci skor vlasnosti) co teraz vysetrime.
Offline
Pozdravujem ↑ akdar:,
Teraz dokazeme nieco o tych dlzkach co najprodzenejsiou metodou.
Oznacme ich ( aby sa nam pisali jednoduchsie vstahy co najdeme)
x=BD; y=DC; z=AD ako aj a=BC; b=AC; c=AB.
Dokaz, cize hladane relacii, urobime vo viacerych etapach ( a nieco z toho pouzijeme na Apollonius-ovu kruznicu)
Rovnobezka (r) cez bod B z priamkou (AD), pretina (AC) v bode E.
Teraz trochu pozorujme situaciu popisanej konfiguracie.
( nedalo by sa dokazat, ze trojuholnik BAE je rovnostrany a ze x/y=c/b ? )
Offline
Pokracovanie.
Ak ste si urobili nacrt, iste vam to pomohlo nast hladane dokazy.
Trojuholnik BAE je rovnoramenny.
Dokaze sa to vdaka vlasnostiam uhlov (presnejsie vdaka vlasnostiam suhlasnych a striedavych
Preto mame EA= AB=c .
A vdaka popisanej konstrukcii
trojuholniky ACD a ECB su podobne
A tak lahko dokazeme, ze
(*).
Posledna rovnost nam bude uzitocna, v praci s Apoll. kruznicou.
Ale mozme dokazat aj slubene vyrazy pre x, y.
Na to pouzijeme vlasnosti zlomkov a (*).
Co nam da
A na koniec a tiez
Poznamka: najdeny vysledok v urobenom dokaze nie je pre nas uzitocny,( i ked pochopitelne vseobecne plati) ak trojuholnik BAC je rovnoramenny v A , preco?
(Edit. Upresnena poznamka)
Poslednu rovnost pre dlzku vnutornej osy trojuholnika ABC cez vrchol A z, vypocitame po malej pomocnej priprave.
No najprv pre istotu nacrtnite popisany situaciu a
male cvicenie
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).
Jazykova poznamka: osa uhlu = bissectrice (fr.)= bisector(angl.)
Offline
Hezký večer ↑ vanok:
Trojuholnik BAE je rovnoramenny.
důkaz:
a protože osa BAC půlí na dva shodné úhly, platí úhel 1 = úhel 2 úhly při B a E jsou shodné a tudíž EAB je rovnoramenný.
male cvicenie
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).
BD = a.c/(b+c) = 35/13, DC = a.b/(b+c) = 30/13, CE = 30/12, EA= 42/12, AF=42/11, FB =35/11
Offline
Pozdravujem ↑ akdar:,
Pripominam, ze na urcenie dlzky budeme stale pouzivat oznacenia ako v #17.
Tu nam pomoze nacrt trojuholnika ABC z jeho opisanou kruznicou (k) a ze vnutorna osa (AD) trojuholnika vrcholu A, pretina (k) aj v druhom bode ktory oznacime K.
( Nas prvy ciel je dokazat, ze (**) .... co by sme mohli pouzit?... myslienky, navrhy.....)
Offline
Mozny postup.
Dokazte najprv :
Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne.
(Klucove myslienky: obvodove uhly, striedave uhly ... a ze AK=AD+DK)
A vyuzite to na dokaz relacie
, co je (**)
Offline
Zdravím ↑ vanok:
můžu se zeptat na poznámku z #18
Poznamka: urobeny dokaz neplati pre rovnostranny trojuholnik ABC, preco? A co vtedy?
Proč to neplatí?
a není v #21 překlep
Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne
nemá být: Trojúhelníky ADB, ADC a CDK jsou podobné?
Zatím aspoň obrázek:
Offline
Pozdravujem ↑ akdar: a tiez radostnu Velku Noc,
Co sa tyka pripadu, ked BAC rovnoramenny, som sa trochu spatne vyjadril, prepac. ( Dakujem za upozornenie ↑ akdar: v predoslom prispevku... upresnil som to aj v #18)
Ten vysledok nie je pre nas, uzitocny, lebo vtedy Apollonious-ova kruznica, prechadzajuca cez bod A, a aj cez bod D a zaroven MB/MC=1 neexistuje (lebo v tom pripade, posledna relacia popisuje osu usecky BC).
Podobnost trojuholnikov ADB a ACK sa moze ukazat, tak ze sa dokaze, ze maju dva zodpovedajuce uhly rovnake.
( 1.Uhol vo vrchole A je identicky v oboch trojuholnikoch, lebo AD je osa uhlu v A trojuholnika BAC;
2. A ich uhly v B a K su dva rovnake ako obvodove uhly.... )
To nam da rovnost,
Co da .(***)
No vsak aj ADB a CDK su podobne ..... a preto
a to da .
Pouzime to v (***) a dostaneme .... co sa pise este ....
(...... treba doplnit)
Offline
Dufam, ze kazdy sa dostal k relacii (**) z #20.
Pochopitelne dosadenim za x,y ako v #18 dostaneme vyraz pre z, ktory zavisi len od stran a,b,c. ( necham vam tu radost sa z tym pohrat 😄)
Pre zaujimavost, ak vyjadrime plochu trojuholnika ABC dvoma sposobmi, tak mozeme ukazat, ze z je zavisle od b,c a ( kde je uhol vo vrchole A trojuholnika ABC).
Skuste to urobit.
[Zda sa mi, co sa tyka tohto vlakna, zatial som tu nic ine nenapisal ako to co kazdy stredoskolak dobre vie. Alebo sa mylim?. Poucte ma!
Teraz uvediem pojem dvojpomeru (Ak sa pouziva po sk, cz ine meno, rad sa prisposobim) .... a to, ako sa zda, dnes uz neuci na SS 😂, i ked to nie je nieco komplikovane]
Offline