Matematické Fórum

vanok · 09. 04. 2017 08:04 — Editoval vanok (09. 04. 2017 14:23)

V tomto vlakne osviezime niektore pojmy z rovinnej geometrie, tak aby sme ich mohli vyuzit na riesenie niektorych problemov.
Zacnime pojmom " osa uhlu"
Ak si nacrtnete situacie, tykajuce sa nasledujucych pojmov, iste text tu nizsie sa vam bude lepsie citat.

Neformalne povedane, uhol dany dvoma polpriamkamy je rozdeleny jeho osou na dva rovnake uhly.
V trojuholniku ABC, osy jeho uhlov su osy jeho uhlov (ktore prechadzaju cez jeho vnutrom).
Iste si spominate, ze tieto osy prechadzaju jednym bodom = stredom vpisanej kruznice trojuholnika.
Uloha: dokazte to.
Ak uvazujeme dve nerovnobezne priamky prechadzajuce cez dany bod A, tak konstatujete, ze tieto tvoria 4 uhly polopriamok vrcholu A. A tiez, ze ich osy po dnvoch su sa doplnuju na priamky co prechadzaju cez A.
A tiez ze ine osy su kolme po dvoch.
Dalsia uloha: dokazte posledne tvrdenie.
A este jedna otazka. Co viete o pripisanych kruzniciach trojuholniku ABC?

Poznamka. Akoze ani v sk ani v cz tieto pojmy nepouzivam, tak ak to chce niekto prepisat do viac pouzivaneho stylu, tak to moze kludne urobit.

Po vyrieseni otazok .... pride pokracovanie.😄

vanok · 10. 04. 2017 06:53 — Editoval vanok (10. 04. 2017 06:57)

Riesenia tych dvoch otazok z #1 su asi velmi zname a nikto sa neodvazi napisat ich dokazy.
Pripisane kruznice sa dotykaju tiez vsetkych troch stran trojuholnika. ( dvak krat mimo trojuholnika a raz z jeho vnutornou stranov )
Ich stred je priesecnik dvoch vonkajsych osi a jednej vnutornej osy uhlov trojuholnika.
Casto sa oznaci stred vpisanej kruznice ako $I$ , a stredy pripisanych kruznic ako $I_a, I_b,I_c$ podla toho, ze sa dotykaju resp. stran ( vnutornych) $a,b,c$ trojuholnika.
Iste ste sa s tym stretli. No aspon dufam.

akdar · 10. 04. 2017 21:08

Ahoj ↑ vanok:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/49628_kru%25C5%25BEnice%2Bvepsan%25C3%25A1%2Bmen%25C5%25A1%25C3%25AD.png

platí, že strany úhlů jsou tečny ke kružnici vepsané - když si vezmeme úhel ACB, tak platí SF = SI a protože SIC i SFC jsou pravé úhly (tečny) $(SI)^{2}+(IC)^{2}=(SF)^{2}+(FC)^{2}$ takže CI = CF. Bod S leží ve stejné vzdálenosti od strany AC i CB - leží tedy na ose úhlu ACB.

Kružnice přisaná je popsaná např. tady: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/ … ipsana.htm

vanok · 10. 04. 2017 21:20

Ano, zatial si si to dobre osviezila.
Zajtra tak pridam dalsie vlasnosti.
Nechcem ist priliz rychlo.... ale skor ucinne.

akdar · 10. 04. 2017 21:21

k druhému důkazu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/51862_osy%2Bvedlej%25C5%25A1%25C3%25ADch%2B%25C3%25BAhl%25C5%25AF.png

vedlejší úhly mají součet 180° - osa přímého úhlu je tedy kolmice - pokud pootočíme tuto kolmici o polovinu DAE získáme osy našich vedlejších úhlů. Ale takhle se asi důkaz nedělá :)

vanok · 10. 04. 2017 22:30 — Editoval vanok (11. 04. 2017 03:33)

↑ akdar:,
To je skoro dobra myslienka.
Jednoduchsie.
Najcastejsie sa vyuzije, ze osy uhla ho delia na dve rovnake casti... a to ti umozni urobit rychly dokaz. (Ak pouzijes tvoj argument o priamom uhly, a to otocenie netreba.

akdar · 11. 04. 2017 09:57

↑ vanok:

otocenie netreba

takže stačí, že BDA + DAE = 180° tudíž polovina BDA + polovina DAE = 90° :)

vanok · 11. 04. 2017 10:18

↑ akdar:
Ano, staci zobrat " dobre " polovice.

Ina otazka : Aky je vztah medzi trojuholnikmy $ABC$ a $I_aI _bI_c$ ?

vanok · 11. 04. 2017 15:04

Pomoc (Doplnujuca otazka).
Co mozeme povedat o vyskach trojuholnika $I_aI _bI_c$ ?

akdar · 11. 04. 2017 23:20

↑ vanok:
vrcholy ABC jsou body kde výšky trojúhelníku $I_{a}I_{b}I_{c}$ protínají strany trojúhleníku $I_{a}I_{b}I_{c}$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 12. 04. 2017 10:30 — Editoval vanok (13. 04. 2017 04:32)

Ahoj ↑ akdar:,
Ano. To sa da vyjadrit aj, ze sa povie $ABC$ je orticky trojuholnik trojuholnika $I_{a}I_{b}I_{c}$ .
Je vela inych vlasnosti. Ak to niekoho zaujima, tak ich mozeme rozvinut.
Ale zatial hovorme o vlasnostiach, ktore nam pomozu zo studiom o Apollonius-ovej kruznici.

Tak je uzitocne vysetrit metricke vlasnosti os trojuholnika $ABC$ .
Presnejsie najdime odpoved na :
Nech v $ABC$ jeho vnutorna osa cez $A$ pretina stranu v bode $D$ . Co mozeme povedat o vzdialenostiach $BD$ , $CD$ a $AD$ ?

akdar · 12. 04. 2017 22:41 — Editoval akdar (12. 04. 2017 23:47)

↑ vanok:
děkuji za nové informace:

orticky trojuholnik

co se týče vztahu AD k DB, tak pokud to mám dobře nakreslené:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

tak tam vůbec nic nevidím, žádný vztah a souvislost :(

misaH · 12. 04. 2017 22:45

Má byť ortický trojuholník.

vanok · 12. 04. 2017 23:31

↑ misaH:
Dakujem,
Preklep opraveny.

vanok · 12. 04. 2017 23:37 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:07)

↑ akdar:,
To je nezavisla informacia.... ten orticky trojuholnik.
Ta co sa tyka AD, DB, CD to je ta vlasnost ( ci skor vlasnosti) co teraz vysetrime.

akdar · 12. 04. 2017 23:43

Hezký večer ↑ vanok:
takže hledáme v úplně obecném trojúhelníku vztah mezi vrcholem a průsečíkem jeho osy a průsečíkem a druhým vrcholem?

vanok · 13. 04. 2017 05:06 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:09)

Pozdravujem ↑ akdar:,
Teraz dokazeme nieco o tych dlzkach co najprodzenejsiou metodou.
Oznacme ich ( aby sa nam pisali jednoduchsie vstahy co najdeme)
x=BD; y=DC; z=AD ako aj a=BC; b=AC; c=AB.
Dokaz, cize hladane relacii, urobime vo viacerych etapach ( a nieco z toho pouzijeme na Apollonius-ovu kruznicu)
Rovnobezka (r) cez bod B z priamkou (AD), pretina (AC) v bode E.
Teraz trochu pozorujme situaciu popisanej konfiguracie.
( nedalo by sa dokazat, ze trojuholnik BAE je rovnostrany a ze x/y=c/b ? )

vanok · 13. 04. 2017 11:59 — Editoval vanok (15. 04. 2017 03:42)

Pokracovanie.
Ak ste si urobili nacrt, iste vam to pomohlo nast hladane dokazy.

Trojuholnik BAE je rovnoramenny.
Dokaze sa to vdaka vlasnostiam uhlov (presnejsie vdaka vlasnostiam suhlasnych a striedavych
Preto mame EA= AB=c .

A vdaka popisanej konstrukcii
trojuholniky ACD a ECB su podobne
A tak lahko dokazeme, ze
$\frac xy= \frac cb$ (*).

Posledna rovnost nam bude uzitocna, v praci s Apoll. kruznicou.

Ale mozme dokazat aj slubene vyrazy pre x, y.

Na to pouzijeme vlasnosti zlomkov a (*).
Co nam da $\frac xc =\frac yb=\frac {x+y}{b+c}=\frac a{b+c}$
A na koniec $x=\frac {ac}{b+c}$ a tiez $y=\frac {ab}{b+ c}$

Poznamka: najdeny vysledok v urobenom dokaze nie je pre nas uzitocny,( i ked pochopitelne vseobecne plati) ak trojuholnik BAC je rovnoramenny v A , preco?
(Edit. Upresnena poznamka)

Poslednu rovnost pre dlzku vnutornej osy trojuholnika ABC cez vrchol A z, vypocitame po malej pomocnej priprave.

No najprv pre istotu nacrtnite popisany situaciu a
male cvicenie
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).

Jazykova poznamka: osa uhlu = bissectrice (fr.)= bisector(angl.)

akdar · 14. 04. 2017 00:02

Hezký večer ↑ vanok:

Trojuholnik BAE je rovnoramenny.

důkaz:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/20212_vlastnosti%2Bobec.%2Btroj%25C3%25BAhel.%2Bd%25C5%25AFkaz.png
a protože osa BAC půlí na dva shodné úhly, platí úhel 1 = úhel 2 $\Rightarrow$ úhly při B a E jsou shodné a tudíž EAB je rovnoramenný.

male cvicenie
najdite vsetki dlzky na ktore deli kazda vnutorna osa trojuholnika ABC jeho strany, ak a=5, b=6, c=7 (vsetko v cm).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-04/20570_ukol%2Babc%2B-%2Bvelikost%2Bstran.png
BD = a.c/(b+c) = 35/13, DC = a.b/(b+c) = 30/13, CE = 30/12, EA= 42/12, AF=42/11, FB =35/11

vanok · 14. 04. 2017 06:21 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:49)

Pozdravujem ↑ akdar:,
Pripominam, ze na urcenie dlzky $z$ budeme stale pouzivat oznacenia ako v #17.
Tu nam pomoze nacrt trojuholnika ABC z jeho opisanou kruznicou (k) a ze vnutorna osa (AD) trojuholnika vrcholu A, pretina (k) aj v druhom bode ktory oznacime K.
( Nas prvy ciel je dokazat, ze $bc=xy+z^2$ (**) .... co by sme mohli pouzit?... myslienky, navrhy.....)

vanok · 14. 04. 2017 18:49 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:53)

Mozny postup.
Dokazte najprv :
Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne.
(Klucove myslienky: obvodove uhly, striedave uhly ... a ze AK=AD+DK)
A vyuzite to na dokaz relacie
$AB.A C=AD^2+BD.CD$ , co je (**)

akdar · 14. 04. 2017 20:22 — Editoval akdar (14. 04. 2017 20:24)

Zdravím ↑ vanok:
můžu se zeptat na poznámku z #18

Poznamka: urobeny dokaz neplati pre rovnostranny trojuholnik ABC, preco? A co vtedy?

Proč to neplatí?

a není v #21 překlep

Tvojuholniky ADB, ACK a CDK su podobne

nemá být: Trojúhelníky ADB, ADC a CDK jsou podobné?
Zatím aspoň obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A přeji všem krásné velikonoční svátky :-)

vanok · 14. 04. 2017 21:30 — Editoval vanok (15. 04. 2017 07:43)

Pozdravujem ↑ akdar: a tiez radostnu Velku Noc,
Co sa tyka pripadu, ked BAC rovnoramenny, som sa trochu spatne vyjadril, prepac. ( Dakujem za upozornenie ↑ akdar: v predoslom prispevku... upresnil som to aj v #18)
Ten vysledok nie je pre nas, uzitocny, lebo vtedy Apollonious-ova kruznica, prechadzajuca cez bod A, a aj cez bod D a zaroven MB/MC=1 neexistuje (lebo v tom pripade, posledna relacia popisuje osu usecky BC).

Podobnost trojuholnikov ADB a ACK sa moze ukazat, tak ze sa dokaze, ze maju dva zodpovedajuce uhly rovnake.
( 1.Uhol vo vrchole A je identicky v oboch trojuholnikoch, lebo AD je osa uhlu v A trojuholnika BAC;
2. A ich uhly v B a K su dva rovnake ako obvodove uhly.... )
To nam da rovnost, $\frac {AB}{AK}=\frac{AD}{AC}$
Co da $AB.AC=AD.AK=AD(AD+DK)=AD^2+AD.DK$ .(***)
No vsak aj ADB a CDK su podobne ..... a preto $\frac {AD}{CD}=\frac{BD}{KD}$
a to da $AD.KD=BD.CD$ .
Pouzime to v (***) a dostaneme .... co sa pise este ....

(...... treba doplnit)

vanok · 16. 04. 2017 13:54

Dufam, ze kazdy sa dostal k relacii (**) z #20.
Pochopitelne dosadenim za x,y ako v #18 dostaneme vyraz pre z, ktory zavisi len od stran a,b,c. ( necham vam tu radost sa z tym pohrat 😄)

Pre zaujimavost, ak vyjadrime plochu trojuholnika ABC dvoma sposobmi, tak mozeme ukazat, ze z je zavisle od b,c a $\cos (\frac {\alpha }2)$ ( kde $\alpha$ je uhol vo vrchole A trojuholnika ABC).
Skuste to urobit.

[Zda sa mi, co sa tyka tohto vlakna, zatial som tu nic ine nenapisal ako to co kazdy stredoskolak dobre vie. Alebo sa mylim?. Poucte ma!
Teraz uvediem pojem dvojpomeru (Ak sa pouziva po sk, cz ine meno, rad sa prisposobim) .... a to, ako sa zda, dnes uz neuci na SS 😂, i ked to nie je nieco komplikovane]

akdar · 17. 04. 2017 22:08

Zdravím ↑ vanok:
k relaci (**) z #20 jsem se dostala.
Ještě zkusím tu plochu :-)

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2017 08:04 — Editoval vanok (09. 04. 2017 14:23)

Osy, pomery

#2 10. 04. 2017 06:53 — Editoval vanok (10. 04. 2017 06:57)

Re: Osy, pomery

#3 10. 04. 2017 21:08

Re: Osy, pomery

#4 10. 04. 2017 21:20

Re: Osy, pomery

#5 10. 04. 2017 21:21

Re: Osy, pomery

#6 10. 04. 2017 22:30 — Editoval vanok (11. 04. 2017 03:33)

Re: Osy, pomery

#7 11. 04. 2017 09:57

Re: Osy, pomery

#8 11. 04. 2017 10:18

Re: Osy, pomery

#9 11. 04. 2017 15:04

Re: Osy, pomery

#10 11. 04. 2017 23:20

Re: Osy, pomery

#11 12. 04. 2017 10:30 — Editoval vanok (13. 04. 2017 04:32)

Re: Osy, pomery

#12 12. 04. 2017 22:41 — Editoval akdar (12. 04. 2017 23:47)

Re: Osy, pomery

#13 12. 04. 2017 22:45

Re: Osy, pomery

#14 12. 04. 2017 23:31

Re: Osy, pomery

#15 12. 04. 2017 23:37 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:07)

Re: Osy, pomery

#16 12. 04. 2017 23:43

Re: Osy, pomery

#17 13. 04. 2017 05:06 — Editoval vanok (13. 04. 2017 05:09)

Re: Osy, pomery

#18 13. 04. 2017 11:59 — Editoval vanok (15. 04. 2017 03:42)

Re: Osy, pomery

#19 14. 04. 2017 00:02

Re: Osy, pomery

#20 14. 04. 2017 06:21 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:49)

Re: Osy, pomery

#21 14. 04. 2017 18:49 — Editoval vanok (14. 04. 2017 18:53)

Re: Osy, pomery

#22 14. 04. 2017 20:22 — Editoval akdar (14. 04. 2017 20:24)

Re: Osy, pomery

#23 14. 04. 2017 21:30 — Editoval vanok (15. 04. 2017 07:43)

Re: Osy, pomery

#24 16. 04. 2017 13:54

Re: Osy, pomery

#25 17. 04. 2017 22:08

Re: Osy, pomery

Zápatí