Matematické Fórum

Děkuji, angličtinou vládnu trochu hůře, takže
střední hodnota počtu pevných bodů náhodné permutace je ? Jenom jeden bod se zobrazí sám na sebe? (Odhadoval jsem, že to bude víc.)

↑ nordec:

Zdravím,

to je z mého pohledu nevýhoda českého pojmu "střední hodnota" - to se pak představuje nějaký průměr (třeba v mém případě česká "střední hodnota" vůběc nesouhlasí s ruským pojmem "očekávání" nebo anglicky "expectation").

http://www.umiacs.umd.edu/~joseph/class … lution.pdf - zde to hezky vysvětluji v řešení k příkladu 5.2.4

a z formulace ulohy jsem se dostala sem, určitě to bude mít i českou variantu "hat check problem".

Třeba já bych se přesvědčovala tak, že prozkouším, jaka je pravděpodobnost dostat svůj vlastní klobouk pro 1 osobu, pro 2 osoby, pro 3 osoby, sestavila bych si tabulku pravděpodobnosti a vypočetla bych "střední hodnotu diskrétní veličiny" - V knize, co odkazuji, je to uděláno v tabulce nad textem. A v textu říkají, že je to surpresing :-)

Pokud se nenajde česká varianta této úlohy, tak bych přislibila "pracovní překlad", ale dnes těžko, do té doby se určitě najde i česká varianta.

↑ radekm:

Já jsem tomu rozuměla tak, že kolega ↑ nordec: po přečtení úplně prvního odkazu je překvapen, že výsledek "střední hodnota" je jen "1" a myslí, že těchto bodu (s vlastnosti se zobrazit sam na sebe) bude víc. A tak jsem ho chtěla navést, že pevných bodů může být více (i méně), ale střední hodnota vychází právě tak, jak vychází - tento materiál jsem hlavně měla na mysli.

Pokud touto informaci jen matu, tak se samozřejmě omlouvám a děkuji za doplnění i za další uvedení na pravou míru, děkuji.

V českých materiálech vždy byl jen takový nástin různě nazývaného problému "o kloboucích", "šatnářce", dokonce někde "o myslivcích střílejících na králíky". V anglických to "proč to tak vyjde" příliš nechápu, možná ale proto, že k mé škodě neumím dobře anglicky.
Výsledek mi přijde divný, protože buď 1 nebo 2 nebo ... nebo n lidí dostane zpět svůj klobouk, kolik očekáváme lidí se svým kloboukem? Jenže ono když 1 člověk dostane svůj klobouk, není 1 možnost, ale asi (n-1)! možností a v tom se už ztrácím...

↑ nordec:

Doporučuju vám, abyste se nezabýval faktoriálem, ten tam totiž vůbec není potřeba.

Představte si, že v šatně je n klobouků a přijde si pro ně n pánů. Teď si představte, že jste klobouk. Jakou máte pravděpodobnost, že se dostanete zpět ke svému majiteli (když pánové
přicházejí náhodně a šatnářka to vydává postupně)? Je to 1/n.

Tedy formálně: X(i) je nahodná veličina nabývající 0, nedostane-li se i-tý klobouk ke svému majiteli, a 1 dostane-li se klobouk i-tý ke svému majiteli. X(i) má pro každé i alternativní rozdělení. Tudíž EX(i) je 1/n.

To platí pro každý klobouk, tedy n/n = 1.

Konkrétně: Když v šatně budou 3 klobouky a šatnářka bude vydávat jen jeden (zbylé dva jí spadly na zem a ona je nevidí). Pánové mohou přijít následovně:

[1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1]

Každopádně se šatnářka trefí ve 2 případech z 6. Tj. očekáváme 1/3 správných vydání.
Když tam budou i zbylé dva klobouky, tak pro ně také očekáváme 1/3 správných vydání.
Tedy dohromady 1 správné vydání.

Heuréka, už je to jasný. Pořád jsem se snažil na to jít přes všechny možnosti (variace), až se to čím dál víc zamotávalo, byl v tom zmatek. Ale trik s 1 a 0 (který jsem z ang. textu holt nevyčetl) to náramně zpřehlednil: n lidí, každý s pravděpodobností 1/n, dostane svůj klobouk, tj. n . 1/n = 1. Teď vím, proč to tak je. Všem moc děkuju.