Matematické Fórum

Ahoj,
existuje nějaký postup, jak ověřit, zda je daná formule F pravidvá (splnitelná - jde o tzv. sémantickou splnitelnost) v daném modelu M teorie T? Např. je to snadné, pokud existuje (formální, syntaktický) důkaz F v teorii T - pak je F pravidvá v každém modelu teorie T, ale o takové případy mi nejde.

Např. mě zajímají formule F, kde ani F ani negace F není dokazatelná v teorii T (viz Godelova věta o neúplnosti). Sice neumíme dokázat T ani negaci T, ale často zkoumáme nějaký konkrétní model M teorie T, u kterého by nás zajímalo, zda je v něm F pravidvá (splnitelná).

Např. mějme "běžná" reálná čísla (jejich množina je M), které jsou modelem obecné teorie T reálných čísel. Je známo, že není možné dokázat hypotézu kontinua (to je formule F) ani její negaci, ale přesto v M (což je konkrétní model teorie T) musí nastat právě jedna ze dvou možností - a sice, že buď F v M platí (je splnitelná) a nebo ne. Pokud by se např. ukázalo, že v M platí F, tak pak to znamená, že F je jednou s podstatnou vlastností M - a neváhal bych ji zařadit mezi axiomy T (a v opačném případě bych tam zařadil její negaci).

Protože postup je v tomto případě takový, že vycházíme od M, formalizujeme jej pomocí T - kde T má ovšem více modelů, ale nás zajímá jen M: a tedy i když T a formální (synaktické) důkazy jsou silným prostředkem pro zkoumání M, některé vlastností M je možné zkumat jen přímo v M... (Tj. T je zbytečně obecná a tím i slabší - pokud jde o zkoumání M.)

Děkuji za vaše názory k tomuto tématu