Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
ahoj potřeboval bych pomoct.
mám pomocí důsledku L věty : "V konečné grupě je řád každého prvku dělitelem řádu grupy" ukázat že každá grupa řádu , kde p je prvočíslo, má podgrupu řádu p.
Tady je odkaz na skripta
ze kterých to je, strana důsledku je 42 (7.9) a příklad je na straně 44
Předem díky
Offline
Všetky delitele čísla sú jednoduchého tvaru - skús si predstaviť, akého.
To budú (na základe spomínaného dôsledku LV) jediné možné rády prvkov grupy G.
Všetky prvky grupy G nemôžu mať rád 1 (prečo?), takže musí existovať nejaký prvok rádu väčšieho ako 1.
Ak vytvoríš cyklickú grupu generovanú týmto prvkom (tá bude podgrupou grupy G), nevedel by si v nej nájsť podgrupu rádu p?
Offline
↑ R4d1m3k:
Ahoj, jaký bude řád prvku, který generuje alespoň dvouprvkovou cyklickou grupu?
Offline
↑ check_drummer:
podle toho jak to chápu tak by měl mít řád 2 pro dvouprvkovou grupu
Offline
↑ check_drummer:
možná jsem se chytil....
kdybych dal a vzal si teda grupu , tak dělitelé jsou 1, 3 a 9
kdybych chtěl vytvořit grupu právě tou trojkou, tak bych dostal grupu s prvky 0, 3, 6 a její řád je teda 3
trefil jsem to?
Offline
R4d1m3k napsal(a):
jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších...
Otázka je, čo rozumieš pod slovom "spousta" :) . Číslo má práve deliteľov, a síce . Všetky jeho delitele sú tvaru a teda jedine také hodnoty môže nadobúdať rád každého prvku grupy (o.i. si všimni, že okrem prípadu je rád každého prvku deliteľný ).
R4d1m3k napsal(a):
trefil jsem to?
V podstate si trafil záverečnú myšlienku.
Ak by pôvodná grupa bola cyklická (ako je napr. z Tvojho príkladu), ľahko z nej vyberieš podgrupu rádu - tak ako si naznačil.
V cvičení však cyklickosť celej grupy nepredpokladáme. Takže najprv ukážeš existenciu (=vytvoríš) netriviálnu cyklickú podgrupu v grupe G a hľadanú grupu rádu vyberieš až z nej.
Offline
↑ zdubius:
Teď mě napadá, podle čeho je jisté že v té vytvořené cyklické podgrupe bude vždy podgrupa radi p
Offline
↑ R4d1m3k:
Ospravedlňujem sa za neskoršiu odpoveď, počas víkendu som mal pomerne nahustený program.
K Tvojej otázke: Vo všeobecnosti cyklická grupa generovaná prvkom má jednoduchú štruktúru - všetky jej prvky sú "mocniny" prvku (kde mocninou prvku rozumiememe výsledok grupovej operácie prvku so sebou samým, teda atď.)
Pokiaľ rád prvku je , tak prvky sú navzájom rôzne (dôkaz je jednoduchý, ak ste ho nerobili, skús si ho) a teda cyklická grupa generovaná prvom je práve
Tým pádom aj jej počet prvkov je .
Z predošlej doskusie vieš, že v grupe musí existovať prvok (označme ho ), ktorého rád je . Ním generovaná cyklická grupa je teda -prvková grupa
Ak z tejto grupy vyberieš vhodné prvky (využi, že počet prvkov je deliteľný , takže vyberaj v rovnakých "rozostupoch"), dostaneš hľadanú -prvkovú podgrupu.
Offline