Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobrý den,
Obracím se na Vás s prosbou o pomoc s příkladem
https://ctrlv.cz/shots/2021/06/16/hxQz.png
Řešil jsem jiné příklady, kde dokazuji, jestli se jedná o podgrupu, kde využiji nutnou a postačujicí podmínku, že podgrupa je neprázdná množina a že třeba x*yˇ-1 e do podgrupy. Ale ještě jsem se nesetkal s tímhle zápisem zadání.
Děkuji předem za radu.
Offline
↑ Teny37:
Je-li [mathjax](H, \cdot )[/mathjax] podgrupou grupy [mathjax](G, \cdot )[/mathjax], platí:
1. [mathjax]H \subseteq G[/mathjax]
2. [mathjax](H, \cdot )[/mathjax] je sama o sobě grupou
Pro [mathjax]H = \{(x, y)\in \mathbb{R}^2, y=x^2\}[/mathjax] (tj. množina všech dvojic reálných čísel takových, že druhé číslo ve dvojici je druhou mocninou čísla prvního) ověříme dvě podmínky výše:
1. Je jasně vidět, že [mathjax]H \subset G[/mathjax], protože [mathjax]H[/mathjax] je část [mathjax]G[/mathjax], která splňuje určitou podmínku.
2. Zbývá ověřit, jestli [mathjax](H, + )[/mathjax] je grupou. Grupa je struktura, která je uzavřená, asociativní, má neutrální prvek a ke každému jejímu prvku obsahuje i prvek k němu inverzní. Struktura [mathjax](H, + )[/mathjax] selhává hned u první vlastnosti - uzavřenosti. Stačí nalézt protipříklad - dva prvky z [mathjax]H[/mathjax], jejichž součet v [mathjax]H[/mathjax] neleží. Například [mathjax](2, 4) + (3, 9) = (5, 13) \notin H[/mathjax].
Struktura [mathjax](H, +)[/mathjax] tedy není podgrupou grupy [mathjax](G, +)[/mathjax].
Offline
↑ Placka03:
Ahoj, jestli tomu tedy dobře rozumím, tak když si vemu ten druhý x+2y=0 ....x=-2y ..... a zase klidně mohu použít (2,4)+(3,9)=(5,13) a tedy nepatří do H a H není podgrupa?
Offline
↑ Teny37:
Ne, protože ani [mathjax](2, 4)[/mathjax], ani [mathjax](3, 9)[/mathjax] do [mathjax]H[/mathjax] už nepatří.
Uzavřenost operace na množině znamená, že po provedení této operace s libovolnými dvěma prvky z dané množiny obdržíme opět prvek z této množiny. Například přirozená čísla jsou uzavřená vůči násobení, zatímco množina záporných čísel není.
Offline
↑ Placka03:
Obecně uzavřenost chápu, jak funguje třeba pro (Z,+) je uzavřená pro operaci sčítání protože, když sečtu dvě celá čísla dostanu celé číslo.
Tak, že znova mám x+2y=0 ...x=-2y ...(1,-2)+(2,-4)=(3,-6) ... tak, že je uzavřená s mohu přejít na další podmínku jako je asociativita. Kde obecně asociativita je (x*y)*z=x*(y*z)
L=(x+2y)*z=(x+2y+2z)
P=x*(y+2z)=(x+2y+4z) což L nerovná se P není asociativní .... není grupa...není podgrupa?
Offline
↑ Teny37:
1. To, že tu uzavřenost ověříš pro dva prvky, ještě neznamená, že to platí pro všechny.
2. Souhlasím s definicí asociativity, ale nějak nechápu tvé ověření. Chceš ověřit, že součet dvojic reálných čísel takových, že druhé číslo ve dvojici je -2-násobkem toho prvního, je asociativní. Jeden prvek je ta celá dvojice.
Nejdřív zkusíme opravit důkaz uzavřenosti. Mějme dvě libovolné dvojice reálných čísel splňující podmínku. Označme je třeba [mathjax](x, -2x)[/mathjax] a [mathjax](y, -2y)[/mathjax], kde [mathjax]x, y\in \mathbb{R}[/mathjax]. Zkus dokázat, že jejich součet opět splňuje podmínku, že druhé číslo je -2-násobkem prvního.
Offline
↑ Teny37:
Myslím, že první podgrupa není, to druhé podgrupa je.
Offline