Matematické Fórum

Ginco · 04. 07. 2009 13:03

ahoj všem...

Mám řadu $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ M=(-1,1)

Mám určit stejnoměrnou konvergenci a rozhodl jsem se, že to budu dělat přes zbytky

zbytek je definován jako : $r_n(x)=s(x)-s_n(x)$

bohužel znám jen $s(x)=\frac{1}{1-x}$ a neznám částečný součet...

ale našel jsem si ve skriptech, že $r_n(x)= x^n+x^{n+1}+...$ , což se dá zapsat jako $\frac{x^n}{1-x}$

a ted řeším podmínku stejnoměrné konvergence

: $|r_n(x)|<\eps$

takže
$|\frac{x^n}{1-x}|<\eps$
$|{x^n}|<\eps.|{1-x}|$

můžu to dál zdůvodnit tak, že tato podmínka má být splněna pro všechna x z množiny M, ovšem když půjdu k jedné zleva, tak zjistím, že tato podmínka není nikdy splněna.., to znamená, že daná řada není stejnoměrně konvergentní na M

je má úvaha správná ?

Marian · 06. 07. 2009 11:28

↑ Ginco:
Já bych sopuhlasil, ale chtělo by to více přesněji.

Na druhou stranu, nutná podmínka ke stejnoměrné konvergenci funkční řady je stejnoměrná konvergence sčítance řady k nule (na množině M), tj. je nutné, aby pro všechna "x" z množiny M platilo stejnoměrně
$x_n\longrightarrow 0,$
což jistě není pravda. Totiž posloupnost $\{ x^n\}_{n=0}^{\infty}$ na $M=(-1,1)$ nekonverguje stejnoměrně, ale pouze lokálně stejnoměrně.

Dále, pokud se omzíš na množinu $M':=(0,1)$ , můžeš studovat také stejnoměrnou konvergenci tvé řady tak, že použiješ podmínku se supremem:
$\sup_{x\in M'}\quad s_n(x)=\sup_{x\in M'}\quad\frac{x^n}{1-x}\ge\sup_{x\in M'}x^n=1.$
Tj. neplatí $\sup\quad s_n(x)=0$ , což dokazuje, že daná řada nekonverguje stejnoměrně k součtové funkci na $M'\subset M$ .

Ginco · 06. 07. 2009 11:43

↑ Marian:

děkuji za ti...

dotaz.. konvergovala by tedy stejnoměrně tvá "upravená" řada, kdyby byla množina M = (0,1-r), kde r náleží (0,1)? já myslím, že ano( nutná podmínka konvergence řady je splněna), dokonce bych si dovolil tipnout, že bych našel konvergentní majorantu $\frac{r^n}{1-x}$ ... ale to je jen drobnost

také bych se prosím chtěl zeptat, jak zjistím poslopunost částečnách součtů geometrické řady...

Marian · 06. 07. 2009 12:05 — Editoval Marian (06. 07. 2009 12:12)

↑ Ginco:
Pokud bude $x\in (-h,h)$ , kde $h\in (0,1)$ je fixní, pak bude řada konvergovat zcela jistě i stejnoměrně na množině $(-h,h)$ . Slovo fixní jsem přidal záměrně. Lze pak zvolit jistě takové číslo $0<r<1$ takové, že platí $0<h<r<1$ . Majorantou by pak byla samotná geometrická řada s kvocientem $r$ , $0<r<1$ .

Pomocí podmínky se supremem to plyne také snadno. Lze psát (na množine (0,h), 0<h<1, h je fix.)
$0\le\sup_{x\in (0,h)}\quad\frac{x^n}{1-x}\le\sup_{x\in (0,h)}\frac{1}{1-h}\cdot\sup_{x\in (0,h)}\quad x^n\le\frac{h^n}{1-h}.$
Ale pro dostatečně velké hodnoty parametru "n" je výraz vpravo neomezeně blízko nule (využívám toho, že "h" je fixní kladné a ostře menší než 1), nebo přesněji, číselná posloupnost (číselná proto, že "h" je fixní) $\{\frac{h^n}{1-h}\}_{n=0}^{\infty}$ je nulová posloupnost (tj. má limitu rovnou nule - viz čitatel a předpoklady o čísle "h"). Odtud konečně
$0\le\sup_{x\in (0,h)}\quad\frac{x^n}{1-x}\le 0\qquad\Leftrightarrow\quad\sup_{x\in (0,h)}\quad\frac{x^n}{1-x} =0.$
Odtud stejnoměrná konvergence na množině (0,h), 0<h<1.

Co se týče parciálního součtu geometrické řady, dosti mě udivuje, že toto nepatří do databáze tvých znalostí. Vysvětlíme si strukturu situace takto ... Označme
$s_n(x):=1+x+x^2+\cdots +x^n=\sum_{k=0}^{n}x^k,\qquad n\in\mathbb{N}\cup\{ 0\},\quad x\in\mathbb{R}.$
Pro $x=1$ je situace snadná, totiž $s_n(1)=n+1$ . Předpokládejme nyní, že je $x\neq 1$ . Pak je

Poslední řádek plyne mj. z toho, že $x\neq 1$ .

______________
Edit.: Pro zjištění parciálních součtů nekonečných řad lze s úspěchem použít zajímavý on- line nástroj www.wolframalpha.com. Stačí zvolit sekci matematika. Podívej se třeba na odkaz http://www18.wolframalpha.com/input/?i= … k%3D0+to+n. Je tam přesně to, co potřebuješ. Pak můžeš začít dokazovat třeba indukcí danou formuli. Modifikací zápisu v řádku nahoru zjistíš snadno i parciální součty komplikovanějších nekonečných řad.

Ginco · 06. 07. 2009 20:37

↑ Marian:

Jo ty znalosti....přes prazdniny mam jedniný plán a to matematiku a fyziku, takže snad to bude lepší...

Jinak jsi mi moc pomohl...díky

Matematické Fórum

#1 04. 07. 2009 13:03

stejnoměrná konvergence řady přes zbytky

#2 06. 07. 2009 11:28

Re: stejnoměrná konvergence řady přes zbytky

#3 06. 07. 2009 11:43

Re: stejnoměrná konvergence řady přes zbytky

#4 06. 07. 2009 12:05 — Editoval Marian (06. 07. 2009 12:12)

Re: stejnoměrná konvergence řady přes zbytky

#5 06. 07. 2009 20:37

Re: stejnoměrná konvergence řady přes zbytky

Zápatí