Matematické Fórum

Marthulaida · 22. 01. 2018 16:06

Zdravím, mohli byste mi prosím pomoci s touto úlohou?

Nechť x=x(t) je řešením úlohy x' = x^3 - 2*x^2 + x, x(0)=1/2. Vypočítejte $\lim_{t\to\infty }x(t)$ a $\lim_{t\to-\infty }x(t)$ .

Zkoušela jsem dát x'=dx/dt a počítat jako rovnici se separovanými proměnnými a vyšel mi výraz s logaritmy, které nevím, jak zlimitnit.

Děkuji za pomoc.

Ferdish · 22. 01. 2018 16:15

Napíš sem ten výraz, čo ti vyšiel.

Marthulaida · 22. 01. 2018 16:19

↑ Ferdish:

Vyšlo mi toto:
$\ln |x|-\ln |x-1|-\frac{1}{x-1}=t+c$

Ferdish · 22. 01. 2018 17:56

OK, integrovala si dobre. Teraz musíš z daného výrazu vyjadriť $x(t)$ a pomocou zadanej počiatočnej podmienky vypočítať integračnú konštantu.

Až potom sa môžeme baviť o limite...

Jj · 22. 01. 2018 18:06 — Editoval Jj (22. 01. 2018 18:09)

Dobrý den.

Integrační konstanta se určí jednoduše, ale o možnosti vyjádřit z řešení rozumně x(t) docela pochybuju.

Marthulaida · 22. 01. 2018 18:09

↑ Ferdish:↑ Ferdish:

A jak můžu z výrazu vyjádřit x(t)? Napadá mě jen dát dohromady logaritmy, takže vyjde:
$\ln |\frac{x}{x-1}|-\frac{1}{x-1}=t+c$
Ale nevím, jak to dál upravit..

Ferdish

↑ Marthulaida:
Ako naznačil kolega ↑ Jj:, je celkom možné, že sa to nakoniec nepodarí a ak áno, nebude to zrovna triviálny úkon.

Napr. dosadením oboch strán rovnice do exponenty s Eulerovým základom získam

$\left|\frac{x}{x-1}\right|\mathrm{e}^{-\frac{1}{x-1}}=\mathrm{e}^{t}\mathrm{e}^{c}\equiv C\mathrm{e}^{t}$

čím sa síce zbavím logaritmu, ale zasa dostanem exponenciálny člen. Možno nakoniec nebude odveci tento príklad prekonzultovať s vašim prednášajúcim...

jarrro · 23. 01. 2018 10:44

Ja len nahlas rozmýšľam a neručím za to, ale neplatí náhodou, že funkcia má v nekonečne limitu práve vtedy keď inverzná má v tom limitnom bode limitu nekonečno? Ak hej tak sa to dá využiť či nie?

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2018 16:06

Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#2 22. 01. 2018 16:15

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#3 22. 01. 2018 16:19

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#4 22. 01. 2018 17:56

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#5 22. 01. 2018 18:06 — Editoval Jj (22. 01. 2018 18:09)

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#6 22. 01. 2018 18:09

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#7 23. 01. 2018 09:54 — Editoval Ferdish (23. 01. 2018 10:01)

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

#8 23. 01. 2018 10:44

Re: Diferenciální rovnice – výpočet limity z řešení

Zápatí