Matematické Fórum

simonaj1 · 05. 07. 2009 18:02

ahoj, tak jsem tu zase, zasekla jsem se na výpočtu jedné limity, protože nejsem schopná derivovat $sin\alpha$ , aspoň myslím, že to mám řešit přes derivace
${\lim}\limits_{x \to 2}\, \frac {sin x - sin\alpha}{x-\alpha}$ jestli to řeším správně, pak $(sin x)\prime=cos x$ $(x)\prime=1$ $(\alpha)\prime=0$

simonaj1 · 05. 07. 2009 18:19

ještě mě napadlo řešit to takto... ale nevím jestli je to správně
${\lim}\limits_{x \to 2}\, \frac {sin x - sin\alpha}{x-\alpha}=\frac {sin x}{x-\alpha} *\frac {x}{x} -\frac {sin\alpha}{x-\alpha}*\frac {\alpha}{\alpha}= \frac {x*sin x}{x*(x-\alpha)} -\frac {\alpha*sin\alpha}{\alpha*(x-\alpha)}$ pak by
${\frac {sin x}{x}=1$ a $\frac {sin\alpha}{\alpha}=1$ a zbylo by $\frac {x-\alpha}{x-\alpha}=1$

simonaj1 · 05. 07. 2009 19:20

↑ simonaj1: prosím, můžete se mi na to někdo mrknout, jestli to mám správně?

Olin · 05. 07. 2009 19:53 — Editoval Olin (05. 07. 2009 19:55)

Mám dojem, že v tom hledáš zbytečné komplikace. Výraz
$\frac {\sin x - \sin\alpha}{x-\alpha}$
je definován vždy kromě případu $x = \alpha$ . Pokud tedy $\alpha \neq 2$ , je
$\lim_{x \to 2}\frac {\sin x - \sin\alpha}{x-\alpha} = \frac {\sin 2 - \sin\alpha}{2-\alpha}$ .

Pokud je $\alpha = 2$ , pak počítáme
$\lim_{x \to 2}\frac {\sin x - \sin 2}{x-2} = \cos 2$
(vypočíst to lze třeba l'Hospitalovým pravidlem)

Jinak derivace $\sin \alpha$ podle x je nula - vzhledem k x je to konstanta.

simonaj1 · 05. 07. 2009 20:31

↑ Olin:
aha, takže z toho plyne, že ten můj výpočet dobře není... tedy pokud cos2 není 1

Olin · 05. 07. 2009 21:00 — Editoval Olin (05. 07. 2009 21:01)

↑ simonaj1:
…což bohužel opravdu není, $\cos 2 \approx -0,41614683654714$

Opět u této úlohy je jistá "zákeřnost", že se tady vyskytuje proměnná alfa, o které ze zadání nic nevíme. Hodnota limity záleží právě na hodnotě této proměnné.

Matematické Fórum

#1 05. 07. 2009 18:02

derivace sin

#2 05. 07. 2009 18:19

Re: derivace sin

#3 05. 07. 2009 19:20

Re: derivace sin

#4 05. 07. 2009 19:53 — Editoval Olin (05. 07. 2009 19:55)

Re: derivace sin

#5 05. 07. 2009 20:31

Re: derivace sin

#6 05. 07. 2009 21:00 — Editoval Olin (05. 07. 2009 21:01)

Re: derivace sin

Zápatí