Matematické Fórum

Ginco · 07. 07. 2009 15:47

prosil bych o zkontrolování příkladu, popřípadě nějaké připomínky uvítám :-)

řešte rovnici

$\color{blue}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$

$\underline{\text{Transformaci souradnic:}}$
$\xi=x+y$
$\epsilon=x-y$

---------------------------------------------

Takže si označím, že : $z=z(\xi,\epsilon)$
a zároveň

$\xi=\xi(x,y)$
$\epsilon=\epsilon(x,y)$
---------------------------------------------

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=z_{\xi}\cdot\xi_{x}+z_{\epsilon}\cdot\epsilon_{x}$

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=z_{\xi}\cdot\xi_{y}+z_{\epsilon}\cdot\epsilon_{y}$

$\epsilon_{x}=\xi_{y}=\xi_{x}=1$
$\epsilon_{y}=-1$
takže:
$\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=z_{\xi}+z_{\epsilon}$
$\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=z_{\xi}-z_{\epsilon}$

moje původní parciální rovnice byla :

$\color{blue}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$

což je stejné jako
$z_{\xi}+z_{\epsilon}=z_{\xi}-z_{\epsilon}$
$2z_{\epsilon}=0\leftrightarrow\frac{\partial{z}}{\partial{\epsilon}}=0$

takže z je konstatní vůči epsilon
=> z můžu napsat jako funkci xí $z=f(\xi)$ , kde f je libovolná diferencovatelná funkce(tím si nejsem jist)

takže finálně $\color{blue}z=f(x+y)$

Rumburak · 08. 07. 2009 09:56

Domnívám se, že je to správně. Lze i provést zkoušku:
$\frac {\partial}{\partial x}z(x,y) = \frac {\partial}{\partial x}f(x+y) = f'(x+y) \,\frac {\partial }{\partial x}(x+y) = f'(x+y)$ , obdobně
$\frac {\partial}{\partial y}z(x,y) = \frac {\partial}{\partial y}f(x+y) = f'(x+y) \,\frac {\partial }{\partial y}(x+y) = f'(x+y)$ ,
čili daná PDR je splněna.
Že z = f(x+y) je jedinou možností, plyne z metody řešení.

Ginco · 25. 08. 2009 19:18 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 19:19)

ahoj, našel jsem zadání jedné zkoušky a nevím vůbec jak na to..múže někdo poradit?
Zavedením nových nezávisle proměnných transformujte rovnici
$x\frac{\partial{z}}{\partial{x}}+y\frac{\partial{z}}{\partial{y}}$
$\alpha=x, \beta = \frac{y}{x}$

Ginco · 25. 08. 2009 19:20

nechápu, že tam není žádné rovnítko ani nic podobného

lukaszh · 27. 08. 2009 11:10

↑ Ginco:
Ja by som to videl skôr na chybu v zadaní. V tom sa jasne píše o nejakej rovnici, preto by som predpokladal, že $=0$ .

Matematické Fórum

#1 07. 07. 2009 15:47

derivace složené funkce

#2 08. 07. 2009 09:56

Re: derivace složené funkce

#3 25. 08. 2009 19:18 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 19:19)

Re: derivace složené funkce

#4 25. 08. 2009 19:20

Re: derivace složené funkce

#5 27. 08. 2009 11:10

Re: derivace složené funkce

Zápatí