Matematické Fórum

Ahoj,

bola tu položená menšia "výzva" od Vlado_bb

1)

vlado_bb napsal(a):

↑↑ AterCZ: 3. Najdite priklad funkcie, ktora je definovana v kazdom , ale derivaciu ma iba v jednom bode.

A Rumburak pre mňa dodal

2)

Rumburak napsal(a):

↑↑ Peter_CSR:

Dirichletova funkce je obvykle definována předpisem

    D(x)  :=  1 ,  pokud   x   je racionální číslo,

    D(x)  :=  0 ,  pokud   x   je iracionální číslo, 

tedy opačně, než jak píšeš v ↑↑ Peter_CSR:.

(Stručněji lze říci, že D je  charakteristickou funkcí množiny všech racionálních čísel.)

Geometrický popis: Bod [t, D(t)]  leží na ose x, pokud t je iracionální, resp. na přímce
o rovnici  y = 1,  pokud  x je racionální (při obvyklém označení souřadnicových os,
pochopitelně).

Uvažovaná funkce D je v každém bodě svého definičního oboru nespojitá (zprava i zleva),
protože v každém bodě osy x platí, že libovolné jeho okolí (oboustranné či jednostranné)
obsahuje jak čísla racionální, tak i čísla iracionální. (V zájmu procvičení si proveď tento
důkaz podrobně - vyjdi z definice spojitosti a z faktů, že je racionální a iracionální).

Platí i další tvrzení:  Funkce D nemá v žádném bodě svého def. oboru derivaci zprava
ani zleva, vlastní ani nevlastní. (Opět si proveď podrobné důkazy - nejvíc se naučíš právě
pečlivým "sestrojováním" důkazů.)

Až tyto kroky zvládneš, zamysli se nad chováním funkcí

            ,     

v okolí bodu  , tj. co můžeme říci o jejich spojitosti či derivaci v tomto bodě.

Takže budem veriť že mi kolegovia dali otázku ktorá bude v mojich silách odpovedať a trocha sa s ňou pohrám :). Budem to robiť ale poistupne, takže:


- už viem že cestou k riešeniu 1) bude nejaká úprava Dirichletovej funkkcie, aneb charakteristickej funkcie pre racionálne čísla.
- opäť, moja literatúra vysvetľuje spojitosť na intervale ako "možme nakresliť jedným ťahom"... aehem..., ale ak správne rozumiem, f je spojitá na intervale ak je spojitá na všetkých jeho bodoch a spojitá v bode znamená, že má limitu a je v ňom definovaná.

Dôkaz že Dirichletova funkcia je nespojitá:

vezmem ľubovoľné reálne číslo a.
a) vezmem racionálne čĺo , ktoré leží na intervale (-nekonečno, a)

Použijem definíciu limity podle Heineho https://imgur.com/a/7TGiN a ako postupnosť vezmem

Postupnosť by mala mať 2 vlastnosti : limitne sa blíži k bodu a a pre všetky , nadobúda racionálnych hodnôt. To ale znamená že

b) rovnakým spôsobom vezmem z rovnakého intervalu číslo , ktoré bude tento krát iracionálne, a vložím ho do postupnosti . Postupnosť konverguje k a a všetky jej členy sú iracionálne, čo ale znamená že

(mal som k tým postupnostiam dať indexy aby som ich odlíšil ale už sa v Latexe strácam...)

Čím som práve preukázal, že funkcia nemá v bode a limitu zľava. Analogickým postupom by som dokázal neexistenciu limity zprava, čo znamená že D(f) nemá limitu pre všetky body jej definičného oboru.

To znamená, že je nespojitá a teda nemá ani deriváciu.




Zatiaľ toľko, zvyšok dokončím potom.  Myslím že na logiku je to maximálne triviálne. Otázka len je či som to zapísal správne...