Matematické Fórum

↑ Marian:
Prvý pokus. Možno falošný dôkaz :-)

Skrytý text:
Podľa mňa taký rad neexistuje. Dokazujem konvergenciu radu s danými vlastnosťami. Označme

Keďže , potom iste
Zisťujem, či postupnosť čiastočných súčtov radu konverguje, pomocou Cauchy-Bolzanovho kritéria konvergencie. Potom podobne ako pre postupnosť b_n, by muselo platiť

Zvolím , odtiaľ

Číslo je horné ohraničenie čiastočných súčtov. Číslo zeta treba zvoliť nasledovne

↑ lukaszh:
Taková řada existuje, jak uvádí a správně se domnívá kolega Rumburak, byť se to může zdát silně kolidující, pokud použijeme selský rozum. Opět jsem se ujistil u teorie nekonečných řad (a doufám, že i ostatní), jak může být fascinující, pokud se studují nekonečné řady reálných čísel obecně (nikoliv pouze s kladnými členy). Poučení z toho může plynout to, že cokoliv tvrdíte, je zapotřebí dokázat s přesností a jemnocitem a nespoléhat se na intuici.

Navíc v lukaszhově důkazu mi unikají sopuvislosti. V provedeném odhadu nesouhlasím s přechodem od parciálních součtů S_i k číslu M. Pokud chceme navíc používat Cauchyovo-Bolzanovo kriterium, je zapotřebí uvážit, že je zapotřebí dokázat podmínku z kriteria pro všechna přirozená čísla r, s taková, že ... Speciální volbou nepřesvědčíme nikoho.

Doporučuji ti podívat se příklad výše a provést ještě jednou tvé odhady na speciálním případě. Možná pak zjistíš, v čem je chyba.


↑ Rumburak:
Stejnou řadu jsem zkonstruoval také a potom už nebyl problém najít i jiné.


Všeobecně poznamenávám k této úloze, že by se mohlo zdát, že by fungovalo Abelovo kriterium. Jenže zde není zaručena monotonie posloupnosti kladných čísel {b_n}. Tedy tato podmínka nemůže být vypuštěna z Abelova kriteria. Protipříklad je v příspěvku ↑ Rumburak:.