Matematické Fórum

crop · 13. 02. 2018 00:38

Zdravím všechny,
nemůžu si poradit s tímhle příkladem. Respektive jesli se má postupovat rozkladem na parciální zlomky, tak nevím jak.

Spočti: $\int_{}^{} {\frac{x-4}{5x^2 +6x +3}} dx$

laszky · 13. 02. 2018 00:53

Kvadraticky polynom ve jmenovateli nema realny koren, takze rozklad na parcialni zlomky nepujde.

Nejprve odstran x z citatele. Derivace jmenovatele je totiz 10x+6 a pokud si citatel upravis na

$x-4 = \frac{1}{10}(10x+6)-\frac{23}{5}$

ziskas v citateli derivaci jmenovatele a plati $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d}x = \ln f(x)$

V citateli ti tedy zbyde konstanta. Nyni uprav jmenovatel na tvar

$a((bx+c)^2+1)$

Ted uz jen pouzij vhodnou substituci a vyuzij $\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x = \mathrm{arctg}\, x$ .

crop · 13. 02. 2018 02:15

↑ laszky:

Můžu se ještě zeptat, jak převést ten jmenovatel do uvedeného tvaru $a((bx+c)^2+1)$ ?

Našel jsem řešení

$\int_{}^{}\frac{1}{(\sqrt{5}x + \frac{3}{5})^2 +\frac{6}{5}} dx$

A u něj poté u volbu substituce: $u= \frac{5x +3}{\sqrt{6}}$ $dx =\frac{\sqrt{6}}{5} du$

Aby se získal tvar: $\frac{1}{\sqrt{6}} \int_{}^{} \frac{1}{u^2 +1} du$

U této varianty ale nevidím přístup jak si sám vhodně tuto substituci zvolit.

laszky · 13. 02. 2018 02:46

↑ crop:

Ja na to jdu vzdy takhle

$5x^2+6x+3 = 5\left(x^2+\frac{6}{5}\,x+\frac{3}{5}\right) = 5\left(\left(x+\frac{3}{5} \right)^2-\frac{9}{25}+\frac{3}{5}\right) = 5\left(\left(x+\frac{3}{5} \right)^2+\frac{6}{25}\right) =$
$= 5\,\frac{6}{25}\left(\frac{25}{6}\left(x+\frac{3}{5} \right)^2+1\right) = \frac{6}{5}\left(\left(\frac{5x}{\sqrt{6}}+\frac{3}{\sqrt{6}} \right)^2+1\right)$

laszky · 13. 02. 2018 18:44

Jinak pekny cviceni na podobny integraly je treba priklad

$\int \frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x$

Vysledek vyjde relativne jednoducha funkce. ;-)

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2018 00:38

Integrál podílu polynomů

#2 13. 02. 2018 00:53

Re: Integrál podílu polynomů

#3 13. 02. 2018 02:15

Re: Integrál podílu polynomů

#4 13. 02. 2018 02:46

Re: Integrál podílu polynomů

#5 13. 02. 2018 18:44

Re: Integrál podílu polynomů

Zápatí