Matematické Fórum

Mauz · 06. 03. 2018 14:55

Zadání:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-03/44201_s7.png

Potřeboval bych poradit s touhle úlohou, protože kapitolu řešení ODR numericky jsem vynechal a doháním ji zpětně. ODR spočítat umím, bude to f(x)=e^(-25x -25c); kde c by mělo být určené počáteční podmínkou, která chybí. Taky mi není jasné jak se první úloha, tj vybírání metody a určování maximální délky kroku může dít bez intervalu, kde se ODR vyšetřuje. Celkově mi to přijde velmi zamotané, jako zdroj studijních materiálů uvádím poznámky k přednášce: https://www.karlin.mff.cuni.cz/~dolejsi … _01_09.pdf

Za reflexi děkuju, hledám pomoc s řešením, nikoliv řešení.

laszky · 06. 03. 2018 18:30

Z Butcherovy tabulky zjistis, ze

Midpoint rule je $y_{i+1}=y_i+hk_2$ , kde $k_1=f(x_i,y_i)=\lambda y_i$ a $k_2=f\left(x_i+\frac{h}{2},y_i+\frac{h}{2}k_1\right)=\lambda \left(y_i+\frac{h}{2}\lambda y_i\right)=\left(1+\frac{h}{2}\lambda\right)\lambda y_i$ .

Takze v pripade Midpoint rule je $y_{i+1}=y_i+h\left(1+\frac{h}{2}\lambda\right)\lambda y_i=\left(1+\left(1+\frac{h\lambda}{2}\right)h\lambda \right)y_i$

Heunova metoda je $y_{i+1}=y_i+h\left(\frac{1}{2}k_1+\frac{1}{2}k_2\right)$ , kde $k_1=f(x_i,y_i)=\lambda y_i$ a $k_2=f(x_i+h,y_i+hk_1)=\lambda(1+h\lambda)y_i$ .

Takze v pripade Heunovy metody je $y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(2+h\lambda)\lambda y_i = \left(1+\frac{h\lambda}{2}(2+h\lambda)\right)y_i$

Takze obe dve metody jsou pro tuto jednoduchou diferencialni rovnici totozne s funkci stability $\Phi(z)=1+\frac{z}{2}(2+z)$ .

Nejsou A-stabilni, protoze oblast stability $\{z\in\mathbb{C}, |\Phi(z)|<1\}$ neobsahuje $\{z\in\mathbb{C}, \mathrm{Re}(z)<0\}$ . (viz obrazek.)

Oznacime-li $z=h\lambda$ , pak maximalni delku kroku urcime z podminky $\left|\Phi(z)\right|<1$ , $z\in\mathbb{R}$ , tzn

$\left|1+\frac{z}{2}(2+z)\right|=\frac{1}{2}((z+1)^2+1)<1$ , neboli $|1+z|<1$ . Protoze $z=h\lambda$ je zaporne, musi byt $h<\frac{2}{|\lambda|}=\frac{2}{25}$ .

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-03/57369_runge.png

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2018 14:55

Runge Kuttovy metody pro reseni ODR

#2 06. 03. 2018 18:30

Re: Runge Kuttovy metody pro reseni ODR

Zápatí