Matematické Fórum

M3tr1x · 15. 03. 2018 23:42

Na papíru je v řadě zapsáno sedm přirozených čísel (označme je a, b, c, d, e, f, g),
jejichž součet je 2017. Každá dvě sousední čísla se liší o 1. Které z těchto čísel se
může rovnat 286?

Ferdish

Zvoľme si ľubovoľné z týchto siedmich čísiel, napr. $a$ . Ak číslo $b$ je od neho väčšie o 1, tak potom platí $b=a+1$ .

Číslo $c$ je zasa o 1 väčšie než $b$ , čo zase znamená, že platí $c=b+1=a+2$ , kde sme dosadili za $b$ z predošlej úvahy.

Takto si všetkých sedem čísiel vieš vyjadriť pomocou jediného neznámeho $a$ . Dosadíš a vyriešiš jednoduchú rovnicu, z ktorej hodnotu čísla $a$ získaš.
Potom už by nemal byť problém určiť, ktoré z tých čísiel je rovné číslu 286...

Samozrejme, môžeš si na začiatku zvoliť aj iné číslo než $a$ , len to musíš pri riešení patrične zohľadniť. Najelegantnejšie riešenie sa núka pri voľbe čísla $d$ :-)

DominikBnP · 16. 03. 2018 07:54

Aritmetická posloupnost to být nemůže, pak by byl součet 2016 a ne 2017. Musí se ta jednička buď přičítat nebo odčítat.

Ferdish

↑ DominikBnP:
Pravda...explicitne tam nie je napísané nič o konštantnom pričítavaní/odčítavaní. Tak teda inak...
Vopred sa ospravedlňujem, pokiaľ toto riešenie bude svojou zložitosťou prekračovať úroveň ZŠ, ale toto je najjednoduchšie, ako to viem momentálne podať.

Dobre, tých sedem čísiel nebude tvoriť aritmetickú postupnosť, ale nech budú tie čísla akékoľvek, ich súčet $S$ sa dá zapísať vo všeobecnom tvare $S=7m+n$ , pričom $m,n\in\mathbb{N};n\in \{1;2;3;4;5;6\}$ .

Treba teda vyšetriť, pre ktoré $n$ je splnená podmienka, že bude $m$ prirodzeným deliteľom čísla $S-n$ a aká je jeho hodnota.

Nakoniec treba ziatiť rozdiel medzi číslom 286 a číslom $7m$ a ako sa k nemu dopracovať pomocou sčítavania/odčítavania jedničky.
Samozrejme, ostatné členy postupnosti musia spĺňať podmienky v zadaní (susedia sa líšia o 1, súčet všetkých členov je 2017).
To nás nakoniec privedie k poradiu čísla 286 v našej postupnosti.

misaH · 16. 03. 2018 10:56

Žiaci na ZŠ by 2017 vydelili siedmimi a skúšaním by našli 286.

gadgetka · 16. 03. 2018 11:16

Zdravím, též si myslím. A ti o něco zdatnější by zpětně číslo 286 vynásobili celým podílem a zjistili by, kolik jim zbývá do 2017 a ten zbytek by pak stylem pokus-omyl dosazovali do sedmkrát nadepsaných čísel 286 ... až by jim to vyšlo. :) Myslím si, že např. profesor Hejný by z takových žáků měl radost. :)

misaH · 16. 03. 2018 11:27

Okrem toho pri nepárnom počte sa ako x oplatí označiť stredný člen, doľava potom písať o1, o 2 menej atď, napravo o1 viac, o 2 viac,... a zapísať súčet...

Tuším to riešenie nemá.

gadgetka · 16. 03. 2018 11:34

Má, pokud tam např. bude číslo 288 dvakrát, tak číslo 286 by mohlo být na prvním místě. :)

Ferdish · 16. 03. 2018 11:52

↑ misaH: ↑ gadgetka:
Súhlasím s vami dámy, takto "intuitívne" by to zrejme počítala väčšina.

Na druhú stranu, berúc do úvahy že je to sekcia ZŠ, tento príklad je zrejme určený pre vyššie ročníky druhého stupňa (8.-9. ročník) a tam sa podľa môjho skromného názoru od žiaka pri riešení podobných úloh očakáva trochu systematickejší prístup...ale nie som učiteľ, môžem sa mýliť.

gadgetka · 16. 03. 2018 12:06

... je to loňský Klokan ... Junior... :)

misaH · 16. 03. 2018 12:11

↑ gadgetka:

Aha, ozaj - dá sa to chápať ináč než ja....

gadgetka

Podle výsledků bude odpovědí a, g. Tzn., že tam může být i číslo 286 dvakrát (pokud se tedy nemýlím). :)

Zadání všech příkladů zde.

Ferdish

↑ gadgetka:
Asi máte iné rozdelenie kategórií než my...u nás pod kategóriou Junior súťažia stredoškoláci, a to sa ešte delia na dve skupiny (1.-2. a 3.-4. ročník) a tie ešte ďalej podľa úrovne školy (SOŠ a gymnáziá).

Neviem teda, prečo zadávateľ dal tento príklad do sekcie ZŠ. Alebo žeby v rámci výuky/tréningu základoškoláci riešili aj stredoškolské zadania? :-)

Viď http://matematickyklokan.sk/o-sutazi/pravidla-sutaze/

Honzc · 16. 03. 2018 13:23

↑ Ferdish:
Však kategorie "Junior" (jestli jsem to dobře pochopil) je i u nás (ČR) 1.-2. ročník SŠ

gadgetka

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pozdě... :)

laszky · 16. 03. 2018 15:07

K tomu prikadu jeste... je dobry si vsimnout, ze prostredni clen musi byt lichy (tim padem muze byt 286 uz jen na 4 mistech) ...a ten prostredni clen je bud 287 nebo 289. To zbytek celkem zjednodussi, zvlast, kdyz jsou mozne odpovedi, jako v klokanovi ;-)

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2018 23:42

sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#2 16. 03. 2018 00:32 — Editoval Ferdish (16. 03. 2018 00:35)

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#3 16. 03. 2018 07:54

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#4 16. 03. 2018 09:12 — Editoval Ferdish (16. 03. 2018 09:28)

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#5 16. 03. 2018 10:56

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#6 16. 03. 2018 11:16

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#7 16. 03. 2018 11:27

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#8 16. 03. 2018 11:34

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#9 16. 03. 2018 11:52

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#10 16. 03. 2018 12:06

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#11 16. 03. 2018 12:11

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#12 16. 03. 2018 12:17 — Editoval gadgetka (16. 03. 2018 12:18)

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#13 16. 03. 2018 12:38 — Editoval Ferdish (16. 03. 2018 12:45)

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#14 16. 03. 2018 13:23

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#15 16. 03. 2018 13:24 — Editoval gadgetka (16. 03. 2018 13:24)

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

#16 16. 03. 2018 15:07

Re: sedm čísel a, b, c, d, e, f, g, součet je 2017

Zápatí