Matematické Fórum

msiaa · 25. 03. 2018 19:57

Dobrej večír/ráno/odpoledne, potřeboval bych pomoct s výpočtem tohoto příkladu :

Silnice široká b metrů je osvětlována lampou, která je nad osou silnice.
V jaké výšce x nad silnicí musí být lampa, aby okraj silnice byl co nejvíce
osvětlen?

Pochopil jsem, že mám počítat pomocí pravoúhlého trojúhelníku, ale pořád mi neleze hlavou jak bych se měl vlastně dostat k výpočtu min x. Obecný výpočet x by nedělal problém, ale prostě nevím jak se dostat k tomu minimu, nebo spíše k vzorečku, který mám zderivovat. Děkuju moc předem

Jj · 25. 03. 2018 20:16

↑ msiaa:

Dobrý den.

Začít náčrtkem. Má se maximalizovat osvětlení, tak zřejmě použít vztah pro uvedenou veličinu - viz Odkaz

msiaa · 25. 03. 2018 20:41

Ah děkuju za rychlou odpověď, ale jelikož nemám používat žádné jiné veličiny než ty metrové tak mi to nijak nepomůže, je to čistě matematický příklad. Náčtrtek sem měl už předtím, ale pomohl jenom s obecným výpočtem strany x, né s jejím minimem : //forum.matweb.cz/upload3/img/2018-03/03296_sta%25C5%25BEen%25C3%25BD%2Bsoubor.png

gadgetka · 25. 03. 2018 21:09

Ahoj, pokud má funkce f v bodě x extrém, tj. minimum nebo maximum, a pokud v tomto bodě existuje derivace, pak je tato derivace nulová. :)

Jj · 25. 03. 2018 21:47 — Editoval Jj (25. 03. 2018 21:50)

↑ msiaa:

Ale to víte, že Vám to pomůže, jen o tom popřemýšlejte. Naopak - bez vztahu pro závislost osvětlení bodu na jeho poloze vůči zdroji světla se neobejdete.

Snažte se vyjádřit osvětlení bodu na okraji silnice jako funkci x (nebo jako funkci úhlu dopadu paprsku), pak viz kolegyně ↑ gadgetka:.

laszky · 25. 03. 2018 22:20

↑ msiaa:

Tak jsem se koukal na ten odkaz od Jj a pokud muzu napovedet, vyuzil bych ten vzorec $E=\frac{I}{r^2}\cos\alpha$ , pricemz $r$ je to tvoje $a$ , $\alpha$ je tvoje $\alpha$ . A ted bych si vyjadril $r^2$ pomoci $b$ a $x$ (to je lehky) a $\cos\alpha$ pomoci $b$ a $x$ (to uz je trochu tezsi). No a pak uz jen derivovani $E(x)$ podle $x$ ;-)

MichalAld · 25. 03. 2018 22:45

Je tam teda zase (snad už tradiční) problém, že není specifikována směrová charakteristika toho světelného zdroje. A bez toho to nejde řešit. Nezbývá, než si nějakou vymyslet, a nejlépe tu nejjednodušší - všesměrovou (tj světelný zdroj září do všech směrů stejně) - i když si teda ani ve snu nedokážu představit, že by se takový zdroj používal k osvětlování ulic.

Intenzita každého světelného zdroje klesá s druhou mocninou vzdálenosti od něj ( $\frac{1}{r^2}$ ), to je vlastně důsledek zachování energie, která je vyzářena do prostoru. To je myslím celkem známe.
Intenzita osvětlení ale závisí i na tom úhlu pod kterým světlo dopadá. Největší je, když je osvětlovaný povrch kolmý na směr paprsků, nejmenší (nulová) je když je rovnoběžný se směrem paprsků. Můžeme si to snadno představit když si představíme tenkou destičku v proudu vody.

Tím tedy dostáváme už zmíněný vztah $E=\frac{I}{r^2} \cos \alpha$

a jediný problém je aby místo dvou proměnných ( $r, \alpha$ ) obsahoval jen jednu.

I bez matematiky je jasné, že maximum někde existuje. Pokud bude lampa ležet přímo na silnici, je sice kraji nejblíže, ale úhel osvětlení je ten nejhorší možný, takže kraj silnice není osvětlen vůbec. Když se začne lampa zvedat, vzdálenost se příliš nemění, ale úhel ano - kraj je osvětlený čím dál více. Do jisté hranice, pak začne osvětlení klesat protože se světelný zdroj už hodně vzdaluje - a až bude v principu v nekonečné vzdálenosti, klesne nám osvětlení kraje zase na nulu. Takže když máme na začátku nulu a na konci nulu a mezi tím něco, musí to něco mít i maximum.

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2018 19:57

Aplikace diferenciálního počtu

#2 25. 03. 2018 20:16

Re: Aplikace diferenciálního počtu

#3 25. 03. 2018 20:41

Re: Aplikace diferenciálního počtu

#4 25. 03. 2018 21:09

Re: Aplikace diferenciálního počtu

#5 25. 03. 2018 21:47 — Editoval Jj (25. 03. 2018 21:50)

Re: Aplikace diferenciálního počtu

#6 25. 03. 2018 22:20

Re: Aplikace diferenciálního počtu

#7 25. 03. 2018 22:45

Re: Aplikace diferenciálního počtu

Zápatí