Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 11. 04. 2018 05:47 — Editoval laszky (11. 04. 2018 13:38)
Re: Binomial summation
for all 
and prove it by induction.
, 
and 
, i.e. only for such k for which 
and 
. Such k exists only for 
and 
, i.e. for 
and 
. Hence, if we investigate the term 
, we find out that
, where 
is the Kronecker delta.
. Then 
,
and 
are allowed. 
and we show that it holds for 
, as well. Thus, we start with![$\binom{n}{p}\binom{n}{q} = \left[\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}\right]\left[\binom{n-1}{q}+\binom{n-1}{q-1}\right] = $](/mathtex/e6/e6c8d8b7932cd593023450baf231482e.gif "kopírovat do textarea")
.
![$=\sum^{n-1}_{k=0}\binom{p}{k}\binom{q}{k}\left[\binom{n+k}{p+q}-{\color{red}\binom{n-1+k}{p+q-1}} \right] + \sum^{n-1}_{k=0}\binom{p-1}{k}\binom{q}{k}{\color{red}\binom{n-1+k}{p+q-1}} +$](/mathtex/ad/ad12c8980dc8284f68ff5f5a724a2bb5.gif "kopírovat do textarea")
![$+ \sum^{n-1}_{k=0}\binom{p}{k}\binom{q-1}{k}{\color{red}\binom{n-1+k}{p+q-1}}+ \sum^{n-1}_{k=0}\binom{p-1}{k}\binom{q-1}{k}\left[\binom{n+k}{p+q-1}-{\color{red}\binom{n-1+k}{p+q-1}}\right] =$](/mathtex/26/26718bac2a01939f1d343601795831e7.gif "kopírovat do textarea")
![$+ \sum^{n-1}_{k=0} \left[-\binom{p}{k}\binom{q}{k}+\binom{p-1}{k}\binom{q}{k}+\binom{p}{k}\binom{q-1}{k}-\binom{p-1}{k}\binom{q-1}{k}\right]{\color{red}\binom{n-1+k}{p+q-1}}$](/mathtex/8b/8b7ac49771b6b7c0ed876e815a613ed1.gif "kopírovat do textarea")
.
, hence we may consider only 
. In addition, if we take into account, that
![$ = -\left[\binom{q}{k}-\binom{q-1}{k}\right]\left[\binom{p}{k}-\binom{p-1}{k}\right] = -\binom{q-1}{k-1}\binom{p-1}{k-1}$](/mathtex/44/4427809d32416c43ad4ff8c08fb8939a.gif "kopírovat do textarea")
, then there holds
.
,
Offline