Matematické Fórum

22LHS · 29. 04. 2018 09:46

Dobrý den,
jako úkol z lineární algebry mi byl zadán následující příklad:

Rozhodněte, zda jsou zadané množiny U a V vektorové podprostory vektorového prostoru P3
$(P_{3} = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} : a_{2}, a_{1}, a_{0} \in \mathbb{R}\})$
kde

$U = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 0 \wedge 2a_{2} + a_{1} = 0 \}$
$V = \{p(x) = a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : p(0) < p(1) \}$

Vím, že pokud má V být vektorovým podprostorem W tak musí platit:
$V \not= \emptyset$
$\forall x, y \in V, x + y \in V$
$\forall x \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}, \alpha x \in V$

S čím si ale nevím rady je konkrétně podmínka u množiny U. Připadá mi to jako by byla chybně zadaná. Proto se chci zeptat, jestli se dá tento příklad nějakým způsobem vyřešit (popřípadě jakým) nebo se opravdu jedná o chybné zadání.

předem děkuji za pomoc.

vlado_bb · 29. 04. 2018 09:55

↑ 22LHS: Ide o prvky typu $[2t,-t,a_0]$ , teda ak uvazime ze $P_3$ je izomorfny priestoru vsetkych usporiadanych trojic. V com sa ti to nezda dobre zadane?

22LHS · 29. 04. 2018 10:33

↑ vlado_bb:

Nějak nerozumím tomu jak je zadaná podmínka u množiny U
$U = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 0 \wedge 2a_{2} + a_{1} = 0 \}$

konkrétně
$a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 0$

neměla by spíše vypadat takto
$a_{2} + a_{1} + a_{0} = 0$

vlado_bb · 29. 04. 2018 10:44

↑ 22LHS: Ano, to by mohla byt ina uloha, zistit, ci tie trojice, ktore splnaju $a_{2} + a_{1} + a_{0} = 0$ tvoria podpriestor. Ale tvoja uloha taka nie je, je taka ako si uviedol vo svojom prvom prispevku.

22LHS · 29. 04. 2018 10:58

↑ vlado_bb: Dobrá. Nebyl jsem si jistý, jelikož jsem se s takto zadaným příkladem ještě nesetkal. Nemohl bys prosím tě podrobněji popsat jakým způsobem tedy tento příklad vyřešit (konkrétně U)?

vlado_bb · 29. 04. 2018 11:19

↑ 22LHS: Klasicky overit ci splna podmienky pre podpriestor. Ziadne specialne triky.

Aspro1 · 30. 04. 2018 06:18

Mně taky není jasná ta první podmínka u množiny $U$ . Nějak mi tam chybí informace o tom, pro která $x$ má podmínka platit. Pro všechna $x \in \mathbb{R}$ ?

vlado_bb · 30. 04. 2018 06:55

↑ Aspro1: Ta podmienka hovori o tom, ze napriklad polynom $3x^2 -6x+2018$ do mnoziny $U$ patri, kym napriklad polynom $x^2+x+1$ nie. Ale ako som uz napisal, nakolko priestor $P_3$ je izomorfny priestoru vsetkych usporiadanych trojic realnych cisel, pokojne mozeme na $x$ zabudnut.

Aspro1 · 30. 04. 2018 08:46

↑ vlado_bb: V tom, co píšeš, vidím tu druhou podmínku: $2a_2 + a_1 = 0$ , ale nevidím, jak se uplatňuje ta první podmínka.

vanok · 30. 04. 2018 08:56

Ahoj ↑ Aspro1:
Mne sa zda, ze v zadani je chyba, U by malo byt
$U = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \wedge 2a_{2} + a_{1} = 0 \}$
( Lebo $(P_{3} = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} : a_{2}, a_{1}, a_{0} \in \mathbb{R}\})$ je isomorfny z $\Bbb R^3$ )

vlado_bb · 30. 04. 2018 09:20

↑ Aspro1: Aha, tak to mas pravdu. Ta prva podmienka (ktoru som doteraz prehliadal) sa mi zda byt pomerne nezmyselna. Iba ze to autor myslel tak, ze polynom musi byt identicky nulovy, cim by sa ale cela mnozina $U$ redukovala na jediny (nulovy) prvok. Tak to ale iste myslene nebolo. Podla mna spravny zapis ulohy je tento:

$U = \{a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} \in P_{3} : 2a_{2} + a_{1} = 0 \}$

Snad sa zadavatel ozve a upresni.

22LHS · 01. 05. 2018 11:09 — Editoval 22LHS (01. 05. 2018 11:11)

↑ vlado_bb: ↑ vanok: ↑ Aspro1:

Zdravím, přikládám přímo screenshot daného příkladu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/65390_la.jpg

Takto jsme dostali příklad zadaný, taky se mi zadání vektoru U nějak nezdálo, proto jsem se obrátil na matematické fórum, aby se to mohlo potvrdit případně vyvrátit.

vlado_bb · 01. 05. 2018 11:21

↑ 22LHS: Takmer iste ide o tlacovu chybu.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2018 09:46

Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#2 29. 04. 2018 09:55

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#3 29. 04. 2018 10:33

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#4 29. 04. 2018 10:44

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#5 29. 04. 2018 10:58

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#6 29. 04. 2018 11:19

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#7 30. 04. 2018 06:18

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#8 30. 04. 2018 06:55

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#9 30. 04. 2018 08:46

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#10 30. 04. 2018 08:56

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#11 30. 04. 2018 09:20

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#12 01. 05. 2018 11:09 — Editoval 22LHS (01. 05. 2018 11:11)

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

#13 01. 05. 2018 11:21

Re: Určení, zda je prostor vektrový podprostor

Zápatí