Matematické Fórum

zapnorak · 05. 05. 2018 19:48

Dobrý večer,
Mohl bych prosím požádat o pomoc s vyřešením rovnice k*R ( $\pi$ /2 - $\varphi$ ) = m*g*Sin ( $\varphi$ ) pomocí eulerovské metody se vstupními hodnotami R = 0.150, m = 1,k = 65, g = 9.8? Snažím se už nějakou chvíli následovat tutoriály, ale pokaždé jsem skončil s neúspěchem a nevím si už rady.

vlado_bb · 05. 05. 2018 22:18

↑ zapnorak: Co mas na mysli pod Eulerovou metodou? Poznam metodu tohoto mena, ale ta sa pouziva na priblizne riesenie diferencialnych rovnic, cize ty mas na mysli nieco ine ...

zapnorak · 05. 05. 2018 22:33

↑ vlado_bb:
Omlouvám se moje chyba nějak jsem to celé popletl. Mělo by se to dát řešit pomocí bisekce což je pro mě snad ještě horší

laszky · 05. 05. 2018 22:34 — Editoval laszky (05. 05. 2018 22:35)

↑ zapnorak:

Nevim, jestli je to eulerovska metoda, ale zkusil bych tu rovnici trochu upravit...

$\frac{\pi}{2}-\varphi=\frac{mg}{kR}\sin\varphi$

$\sin\varphi = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) = \cos\left(\frac{mg}{kR}\sin\varphi\right)$

A ted bych uvazoval posloupnost $\{s_k\}$ :

$s_{k+1} = \cos\left(\frac{mg}{kR}s_k\right)$

Ukaz, ze posloupnost konverguje, spocitej $s=\lim_{k\to\infty}s_k$ a vysledek je

$\varphi = \mathrm{arcsin}(s)$ .

Edit: Neni to bisekce. Ale muzes si to zkusit.

zapnorak · 05. 05. 2018 22:38

↑ laszky:↑ laszky:
děkuji za radu určitě to vyzkouším

laszky · 05. 05. 2018 22:51

Kdyz to chces pocitat pomoci bisekce, uvazuj funkci

$f(\varphi) = kR\left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right) - mg\sin\varphi$ .

Pak $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -mg < 0$ , zatimco $f(0)=kR\frac{\pi}{2}>0$ .

A uvazuj posloupnosti $\{L_k\}$ a $\{R_k\}$ s $L_0=0$ a $R_0=\frac{\pi}{2}$

V kazdem kroku spocti $a=f\left(\frac{L_k+R_k}{2}\right)$ .

Pokud je $a<0$ , potom $L_{k+1}:=\frac{L_k+R_k}{2}$ a $R_{k+1}:=R_k$ .

Pokud je $a>0$ , potom $L_{k+1}:=L_k$ a $R_{k+1}:=\frac{L_k+R_k}{2}$ .

Obe dve posloupnosti $\{L_k\}$ a $\{R_k\}$ konverguji k reseni.