Matematické Fórum

tapova · 30. 07. 2009 14:55

ahoj, mohl byste mi prosím poradit, jak vypočítat osmiřadový determinant s trojkami na hlavní diagonále a jedničkami mimo ni?
Přičetla jsem k prvnímu sloupci všechny ostatní a udělala rozdíl řádků, ale na diagonále mi vyšly dvojky a teď jsem skončila :)) mohl byste mi prosím někdo pomoct, jak dál?
díky

musixx · 30. 07. 2009 15:21 — Editoval musixx (30. 07. 2009 15:34)

Nejprve bych přičetl -1 násobek prvního sloupce ke všem ostatním sloupcům, pak bych přičetl -1 násobek posledního řádku ke všem řádkům a pak udělal Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce. Jeden determinant 7. řádu má pod hlavní diagonálou nuly a u druhého bych postupně 1. řádek přičetl ke druhému, pak druhý ke třetímu, atd.

Vyjde to proto $2\cdot2^7+2^6\cdot16$ .

$\left|\begin{tabular}{cccccccc} 3&1&1&1&1&1&1&1\nl 1&3&1&1&1&1&1&1\nl 1&1&3&1&1&1&1&1\nl 1&1&1&3&1&1&1&1\nl 1&1&1&1&3&1&1&1\nl 1&1&1&1&1&3&1&1\nl 1&1&1&1&1&1&3&1\nl 1&1&1&1&1&1&1&3\end{tabular}\right|= \left|\begin{tabular}{cccccccc} 3&-2&-2&-2&-2&-2&-2&-2\nl 1&2&0&0&0&0&0&0\nl 1&0&2&0&0&0&0&0\nl 1&0&0&2&0&0&0&0\nl 1&0&0&0&2&0&0&0\nl 1&0&0&0&0&2&0&0\nl 1&0&0&0&0&0&2&0\nl 1&0&0&0&0&0&0&2\end{tabular}\right|= \left|\begin{tabular}{cccccccc} 2&-2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&2&0&0&0&0&0&-2\nl 0&0&2&0&0&0&0&-2\nl 0&0&0&2&0&0&0&-2\nl 0&0&0&0&2&0&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&0&2&-2\nl 1&0&0&0&0&0&0&2\end{tabular}\right|=$

$2\cdot\left|\begin{tabular}{cccccccc} 2&0&0&0&0&0&-2\nl 0&2&0&0&0&0&-2\nl 0&0&2&0&0&0&-2\nl 0&0&0&2&0&0&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\nl 0&0&0&0&0&0&2\end{tabular}\right|- 1\cdot\left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 2&0&0&0&0&0&-2\nl 0&2&0&0&0&0&-2\nl 0&0&2&0&0&0&-2\nl 0&0&0&2&0&0&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|=2\cdot2^7- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 2&0&0&0&0&0&-2\nl 0&2&0&0&0&0&-2\nl 0&0&2&0&0&0&-2\nl 0&0&0&2&0&0&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|=$

$2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 2&0&.&.&.&.&-2\nl 0&2&0&.&.&.&-2\nl 0&0&2&0&.&.&-2\nl 0&0&0&2&0&.&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|=$
(o čísla místo teček se starat nemusím, sleduju jen vznikající nuly všude pod hlavní diagonálou a poslední sloupec)

$2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&2&0&.&.&.&-2\nl 0&0&2&0&.&.&-2\nl 0&0&0&2&0&.&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|= 2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&0&-2&.&.&.&-8\nl 0&0&2&0&.&.&-2\nl 0&0&0&2&0&.&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|= 2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&0&-2&.&.&.&-8\nl 0&0&0&-2&.&.&-10\nl 0&0&0&2&0&.&-2\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|=$

$2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&0&-2&.&.&.&-8\nl 0&0&0&-2&.&.&-10\nl 0&0&0&0&-2&.&-12\nl 0&0&0&0&2&0&-2\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|= 2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&0&-2&.&.&.&-8\nl 0&0&0&-2&.&.&-10\nl 0&0&0&0&-2&.&-12\nl 0&0&0&0&0&-2&-14\nl 0&0&0&0&0&2&-2\end{tabular}\right|= 2^8- \left|\begin{tabular}{cccccccc} -2&-2&-2&-2&-2&-2&-4\nl 0&-2&.&.&.&.&-6\nl 0&0&-2&.&.&.&-8\nl 0&0&0&-2&.&.&-10\nl 0&0&0&0&-2&.&-12\nl 0&0&0&0&0&-2&-14\nl 0&0&0&0&0&0&-16\end{tabular}\right|=$

$2^8-(-2)^6\cdot(-16)=1280$ .

Rumburak

↑ musixx:

Zdravím.
A co takto (ve druhém detrminantu k prvnímu řádku přičtu součet ostatních řádků):

$\left|\begin{tabular}{cccccccc}3&1&1&1&1&1&1&1\nl1&3&1&1&1&1&1&1\nl1&1&3&1&1&1&1&1\nl1&1&1&3&1&1&1&1\nl1&1&1&1&3&1&1&1\nl1&1&1&1&1&3&1&1\nl1&1&1&1&1&1&3&1\nl1&1&1&1&1&1&1&3\end{tabular}\right|=\left|\begin{tabular}{cccccccc}3&-2&-2&-2&-2&-2&-2&-2\nl1&2&0&0&0&0&0&0\nl1&0&2&0&0&0&0&0\nl1&0&0&2&0&0&0&0\nl1&0&0&0&2&0&0&0\nl1&0&0&0&0&2&0&0\nl1&0&0&0&0&0&2&0\nl1&0&0&0&0&0&0&2\end{tabular}\right|=\left|\begin{tabular}{cccccccc}10&0&0&0&0&0&0&0\nl1&2&0&0&0&0&0&0\nl1&0&2&0&0&0&0&0\nl1&0&0&2&0&0&0&0\nl1&0&0&0&2&0&0&0\nl1&0&0&0&0&2&0&0\nl1&0&0&0&0&0&2&0\nl1&0&0&0&0&0&0&2\end{tabular}\right|=10\cdot 2^7=5\cdot 2^8$ ?

musixx · 31. 07. 2009 08:41

↑ Rumburak: Také zdravím. To je pěknějsí, rozhodně...

Matematické Fórum

#1 30. 07. 2009 14:55

Osmiřadový determinant

#2 30. 07. 2009 15:21 — Editoval musixx (30. 07. 2009 15:34)

Re: Osmiřadový determinant

#3 30. 07. 2009 16:59 — Editoval Rumburak (30. 07. 2009 17:14)

Re: Osmiřadový determinant

#4 31. 07. 2009 08:41

Re: Osmiřadový determinant

Zápatí