Matematické Fórum

s-o-k-o-l

Dobrý den,
můžete mi někdo prosím poradit, jak u kolinearity zjistím samodružné roviny?

Kolinearita je dána rovnicemi
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/17846_123.png

Zjistil jsem, že determinant je roven
$k^{4}-6k^{3}+14k^{2}-14k+5$

Determinant jsem položil nule a zjistil jsem vlastní čísla
$k_{1,2}=1$
$k_{3}=2+i$
$k_{4}=2-i$

Jak ale získám samodružnou rovinu pro vlastní čísla $k_{1,2}=1$ ... dle výsledků by měla vyjít rovina
$x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$ ... což také sedí ... ale jak se k ní dostanu? Děkuji za radu.

laszky · 09. 05. 2018 02:00 — Editoval laszky (09. 05. 2018 04:01)

↑ s-o-k-o-l:

Ahoj, spocitej vlastni vektor matice $\mathbb{A}^T$ prislusny vlastnimu cislu $\lambda=1$ .

Tvoje transformace je totiz dana vztahem $\boldsymbol{x}'=\mathbb{A}\boldsymbol{x}$ a tebe zajimaji vektory $\boldsymbol{u}$ splnujici

$\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{x}' = \lambda\, \boldsymbol{u}^T\boldsymbol{x}$ , neboli

$\boldsymbol{u}^T\mathbb{A}\boldsymbol{x} = \lambda\, \boldsymbol{u}^T\boldsymbol{x}$ pro vsechna $\boldsymbol{x}$ .

Takze musi platit $\boldsymbol{u}^T\mathbb{A} = \lambda\, \boldsymbol{u}^T$ .

Pozn: Vektory splnujici $\mathbb{A}\boldsymbol{u}=\lambda\boldsymbol{u}$ se take casto nazyvaji prave vlastni vektory, zatimco vektory $\boldsymbol{u}^T\mathbb{A} = \left(\mathbb{A}^T\boldsymbol{u}\right)^T =\lambda\boldsymbol{u}^T$ jsou leve vlastni vektory.

s-o-k-o-l

↑ laszky:

Děkuji za rady. Nejprve jsem ti udělal matici $A^{T}$ a zjistil její vlastní čísla ... vyšla stejná, jako u $A$ . Platí u čtvercové matice $det(A)=det(A^{T})$ . Vlastní čísla vyšla tedy: $1, 2+i, 2-i$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/51613_1.jpg

Pro vlastní číslo $\lambda =1$ dostávám rovinu $x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$

Pro vlastní číslo $\lambda =2-i$ dostávám $x_{2}+ix_{3}=0$ ... což není rovina, stejně je tomu tak pro vlastní číslo $\lambda =2+i$ , kde dostávám $x_{2}-ix_{3}=0$

Ještě se chci zeptat na samodružné body ... pracuji již s maticí $A$

Je postup správně? Pro $\lambda _{1} ... (1,0,0,0)$
Pro $\lambda _{2} ... (2+i,2+i,i,1)$ ... nejsem si jist, zda může samodružný bod vyjít v $C$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/52637_5.jpg

Děkuji za kontrolu.

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2018 00:20 — Editoval s-o-k-o-l (09. 05. 2018 00:21)

Samodružné roviny

#2 09. 05. 2018 02:00 — Editoval laszky (09. 05. 2018 04:01)

Re: Samodružné roviny

#3 09. 05. 2018 09:54 — Editoval s-o-k-o-l (09. 05. 2018 09:57)

Re: Samodružné roviny

Zápatí