Matematické Fórum

simonaj1 · 31. 07. 2009 18:39

ahoj, tak se snazim nacpat do wolframu jeden integral a vubec mi to nejde... nemate s tim nekdo zkusenost, delam nejspis chyby v zapisu
$\int_{0}^{a}{\frac{dx}{\sqrt{ax-x^2+{\frac{a^2}{4}}-{\frac{a^2}{4}}}}}$

lukaszh · 31. 07. 2009 19:07

$\int_{0}^{a}{\frac{\rm{d}x}{\sqrt{ax-x^2+{\frac{a^2}{4}}-{\frac{a^2}{4}}}}}=\int_{0}^{a}\frac{\rm{d}x}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-$x-\frac{a}{2}$^2}}=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\frac{\rm{d}x}{\sqrt{1-\[\frac{2}{a}$x-\frac{a}{2}$\]^2}}$
Použijeme vhodnú substitúciu
$\frac{2}{a}$x-\frac{a}{2}$=\tau$
$\int_{-1}^{1}\frac{\rm{d}\tau}{\sqrt{1-\tau^2}}=\[\arcsin\tau\]_{-1}^{1}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi$

simonaj1 · 31. 07. 2009 19:30

↑ lukaszh: jj, dostala jsem se k $\int_{0}^{a}{\frac{dx}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^{2}}}$ , ale nemohl bys mi trochu podrobněji vysvětlit co jsi s tím provedl dál? vůbec netuším, kde jsi vzal to vytknuté 2/a?

lukaszh · 31. 07. 2009 21:07

↑ simonaj1:
Základné úpravy so zlomkami:

Zvyšok už zvládneš.

simonaj1 · 01. 08. 2009 08:07

↑ lukaszh:ještě taková věc... kam se podělo to 2/a před integrálem a jak se změnily meze?

simonaj1 · 01. 08. 2009 08:38

já jsem to po té mé úpravě zadala do wolframu a dostala jsem z toho tohle $\int_{0}^{a}{\frac{dx}{\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^{2}}}$ substituce $u=x-\frac{a}{2}, du=dx$ to vedlo k výsledku $\int{\frac{1}{\sqrt{{\frac{a^4}{2}}-u^2}}=arcsin(\frac{2x}{a}-1)$ , ale samozřejmě vůbec netuším, jak se mi substitucí změnili meze a jak je pak konkrétně dosadím

Marian · 01. 08. 2009 09:39 — Editoval Marian (01. 08. 2009 09:42)

↑ simonaj1:
Simono, je zapotřebí integrál transformovat na takový tvar, který je vhodný pro další práci. To, co lukaszh nazývá obyčejnou úpravou zlomků značí, že chce vyrobit jedničku pod odmocninou. Pokud se koukneš na tabulku základních integrálů, často se taková jednička v integrandu může potřebovat (především pod odmocninou nebo ve jmenovateli zlomku), příkladem ti mohou být vzorce
$\int\frac{\mathrm{d}x}{\boxed{1}+x^2}=\arctan x+C\qquad\qquad\text{nebo}\qquad\qquad\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\boxed{1}-x^2}}=\arcsin x+C.$
Proto je vytknut pod odmocninou výraz $a^2/4$ . Odtud před zlomkem výraz $2/a$ .

Nyní k tomu, kam se poděl. lukaszh zavádí transformaci pomocí substituce $\tau:=\boxed{\frac{2}{a}\cdot\left (x-\frac{a}{2}\right )}$ . Po vypočtení vztahů mezi diferenciály $\mathrm{d}x$ a $\mathrm{d}\tau$ máš
$\frac{2}{a}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tau.$
Protože v čitateli zlomku před zavedenou substitucí není výraz $\frac{2}{a}\,\mathrm{d}x$ (chybí právě ona konstanta 2/a), "půjčíme" si tu před integrálem (to je to zminzení) a přidáme k diferenciálu dx. Tak vzniká v čitateli výraz $\frac{2}{a}\,\mathrm{d}x$ , který jsme oprávněni podle vztahu mezi původním a novým diferenciálem nahradit $\mathrm{d}\tau$ , jak avizuje ve svém výpočtu kolega lukaszh.

Co se týče transformace mezí, postupovat lze za jistých předpokladů takto ...

Původní meze se týkají proměnné "x", nové promnné se budou týkat proměnné $\tau$ . Vztah mezi těmito proměnnými je dán substitučním vztahem. Ten nám poslouží pro transformaci mezí.

Nejprve dosadíme spodní mez původního integrálu (tj. hodnotu "0") do substitučního vztahu. Máme
$\frac{2}{a}\cdot\left (0-\frac{a}{2}\right )=-1.$
Toto je nová spodní mez v dané transformaci. Podobně také odvodíš také horní mez transformovaného integrálu.

Co se týče zápisu na www.wolframalpha.com, je potřeba zapisovat takto

Code:

integrate 1/sqrt(a*x-x^2)

Bohužel určitý integrál v daných mezích obecně nespočetlo (přidáním from x=0 to a).

Speciální volbou čísla "a" se však můžeš přesvědčit o správnosti výpočtu, třeba

Code:

integrate 1/sqrt(20*x-x^2) from x=0 to 20.

Vychází $\pi$ .

Matematické Fórum

#1 31. 07. 2009 18:39

integral s odmocninou

#2 31. 07. 2009 19:07

Re: integral s odmocninou

#3 31. 07. 2009 19:30

Re: integral s odmocninou

#4 31. 07. 2009 21:07

Re: integral s odmocninou

#5 01. 08. 2009 08:07

Re: integral s odmocninou

#6 01. 08. 2009 08:38

Re: integral s odmocninou

#7 01. 08. 2009 09:39 — Editoval Marian (01. 08. 2009 09:42)

Re: integral s odmocninou

Code:

Code:

Zápatí