Matematické Fórum

MichalAld napsal(a):

No ale nakonec i tady se setkáváme s tím, že abychom se dopočítali výsledku, je nejprve třeba vhodně doplnit (či upravit) zadání.

To je to co jsem psal někde na začátku - pokud by se přidaly nějaké dodatečné informace jako např. že následující člen závisí na předchozích (např. nejvýše dvou), že ta závislost je např. algebraická, tj. v tom vzorci se může vyskytovat jen násobení a sčítání, apod. , tak by se z toho stala legální úloha, která by navíc mohla mít i jediné řešení.

↑↑ MichalAld:

Ano, tak to vidím i já.

PS.
Transfinitní indukci neumím dostatečně vysvětlit několika větami.
Pokud by Tě toto téma zajímalo, zkus zalistovat na webu, možná něco najdeš.
(Souvsející pojmy: ordinál, ordinální číslo, kardinální číslo).

KennyMcCormick napsal(a):

To můžeš, ale v tom případě se potřeba hádat přenáší na potřebu uhodnout správné axiomy. (Pokud mluvíme o fyzice, a ne o matematice.)

Pokud si pomůžeš tím, že použiješ jednoduchost jako jedno z měřítek k vybrání jedinečných axiomů, přenesla se nutnost hádat na uhodnutí správné definice jednoduchosti.

Odstranit tuhle nutnost je nemožné.

Co jsou to správné axiomy? Nestačí jakékoliv axiomy? Axiomy mohu volit tak, že je budu postupně (jak provádím víc a víc pokusů) aktualizovat tak, aby jejich sada byla co nejobecnější a co nejmenší. V nejtriviálnějším případě prohlasím na axiom jakýkoli změřený jev - jazykem matematiky, za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.
Pokud však mám jako kriterium definovat ty axiomy co nejejdnodušeji, tak je nutné vědět, co ta jednoduchost znamená - jak píšeš. V něklterých případech je intuitivně zřejmé, že je nějaká sada axiomů jednodušší než jiná, jindy to ale zřejmé není (např. je výraz obsahící násobení jednodušší než vžraz obsahující 10 sčítání?).

Dále je otázka co vlastně znamená "hádání". Můžeme říci, že nic než hádání neprovádíme - hádám, že v lednici najdu to, co jsem tam včera dal, hádám, že ráno vyjde slunce, hádám, že když pustím kámen, bude padat k zemi, hádám, že když se něco 100x stalo, že po 101ní se to snane zas, rovněž tak hádám tvar důkazu tvrzení, které se pokouším dokázat, atd.

↑ check_drummer:
Ahoj.

za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.

Tak to nefunguje ani v matematice.  Které výroky jsou "pravdivé" ?  To právě
závisí na tom, ze které axiomatické soustavy vycházíme.

Matematická teorie je de facto hra:

Zvolíme si soustavu axiomů (tj. určité výroky prohlásíme za pravdivé) a hledáme
jejich důsledky. Při tom se snažíme, aby axiomů nebylo zbytečně mnoho.

Pokud se dostaneme ke sporu, znamená to, že jsme soustavu axiomů zvolili chybně.

Pokud se nám nepodaří dokázat něco, co očekáváme  (například že pro libovolná
přirozená čísla a, b, c platí  a(b+c) = ab + ac,  budujeme-li teorii přirozených čísel),
může to znamenat buď to že nejsme při hledání důlkazu dosti obratní nebo že
soustava axiomů je zvolena nesprávně (vzhledem k našemu očekávání).


Matematická teorie je nejen o axiomech a větách, ale také o pojmech. Ty jsou
dvojího druhu:

- základní neboli primitivní pojmy, z nichž vycházíme, aniž bychom je definovali
  (o nich jsou formulovány základní axiomy),

- další pojmy, které jsou postupně zaváděny přesnými definicemi.

Rumburak napsal(a):

↑ check_drummer:
Ahoj.

za axiomy prohlásím všechny pravdivé výroky.

Tak to nefunguje ani v matematice.  Které výroky jsou "pravdivé" ?  To právě
závisí na tom, ze které axiomatické soustavy vycházíme.

Ahoj - ale já psal pravdivé a nikoli dokazatelné. Pravdivost na axiomech nezávisí - ta závisí na konkrétním modelu.

↑ MichalAld:
Ony jsou dvě interpretace Occamovy břitvy: nepoužívat to, co není nezbytné (jak píšeš) a nebo ze dvou vysvětlení vybrat méně komplikované (jak píšu). To první je zřejmé, to druhé nemusí být správné, protože složitější teorie může (na rozdíl od jednoduché) vysvětlit i věci, o kterých jsme zatím nepřemýšleli. No ale může to být i naopak.

check_drummer napsal(a):

↑ MichalAld:
Ony jsou dvě interpretace Occamovy břitvy: nepoužívat to, co není nezbytné (jak píšeš) a nebo ze dvou vysvětlení vybrat méně komplikované (jak píšu). To první je zřejmé, to druhé nemusí být správné, protože složitější teorie může (na rozdíl od jednoduché) vysvětlit i věci, o kterých jsme zatím nepřemýšleli. No ale může to být i naopak.

Já nevím, myslím, že v takovém případě by mohly zůstat v plastnosti teorie obě. Nenapadá mě ale moc příkladů, vlastně jen jeden - totiž termodynamika a statistická mechanika.

Statistická mechanika je určitě lepší teorií, dokáže předpovědět více věcí, a potřebuje k tomu méně dodatečných předpokladů (nad rámec "normální" fyziky), ale na druhou stranu potřebuje vědět detaily o částicové podstatě zkoumané látky...a je obecně dost složitá...

Termodynamika naproti tomu nepotřebuje vědět o detailech částic tvořící látku vůbec nic - jen z jednoduchého předpokladu, že žádná existující látka či věc nemůže porušit druhý termodynamický zákon (nemůž přeměnit teplo beze zbytku na ušlechtilou energii) dokáže dělat nějaké (byť omezené) předpovědi o vlastnostech látky.


Řekl bych, že v takovémto případě (dvě nějak funkční teorie) nerozhoduje Occamova břitva, ale prostě užitečnost těch teorií.

↑ MichalAld:
Já nevím. Asi bych zkusil vytvořit model, kde je Slunce nehybné a podívat se, jestli kolem něj ostatní planety opisují nějaké jednoduché tvary, např. elipsy.

Bez moderního matematického aparátu.

A aniž bych věděl, že chyby měření mají normální rozdělení pravděpodobnosti nebo že všechny planety leží (zhruba) ve stejné rovině.

Není divu, že se lidé tenkrát dožívali tak nízkého věku...

↑ check_drummer:
Může to být deterministické hádání - slovo "hádání" jsem použil ve smyslu, že neexistuje algoritmus k nalezení správných axiomů, ne ve smyslu, jestli myšlenkový proces, kterým se axiomy pokusíš uhodnout, je deterministický nebo ne. 🙂

↑ KennyMcCormick:
Zní to rozumně, ale lze to dokázat? :-)

↑ KennyMcCormick:
Přirovnání k posloupnosti není asi úplně korektní, protože u experimentů nezávisí na pořadí, v jakém byly prováděny.

↑ MichalAld:

Přirovnání k posloupnosti není asi úplně korektní, protože u experimentů nezávisí na pořadí, v jakém byly prováděny.

1. Ano. (Edit: Tím chci říct "Ano, nezávisí."...)

2. Senzorická data, která dostáváme, se mění v čase i tehdy, pokud nezáleží na pořadí provedených experimentů.

3. Mohli bychom říct, že nemůžeme vektoru přiřadit konkrétní , ale mně se zdálo přirozené je řadit podle vzrůstajícího času, (protože když mě zajímá, co budu pozorovat v čase , tak pozorování v časech jsou pro mě relevantnější než pozorování v čase ).


↑ MichalAld:

Moc si takový důkaz nedokážu předstvit, protože důkaz znamená doložit, že to plyne z výchozího systému axiomů. Jenže my ty axiomy hledáme...

Já tomuhle vůbec nerozumím, ale nejsou to jiné axiomy? Tj. nejsou axiomy, které hledáme, axiomy, které generují všechny správné experimentální předpovědi (např. axiom "hmotnost je absolutní" v Newtonově mechanice*), zatímco axiomy, které potřebujeme, axiomy, ze kterých vycházíme pro provedení našeho (hypotetického) důkazu?

Nebo se axiomům ve vědě říká jen "postuláty"? (Takže všude, kde jsem psal o hádání axiomů ve vědě z experimentálních dat, jsem měl psát o hádání postulátů?)


*Když pominu, že to není nezbytně pravda.

Poznamka. 
Moze byt poucne trochu studovat historiu vied. 

A uz aj tu sa da trochu poucit
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Axiom