Matematické Fórum

Crusty · 01. 08. 2009 11:52

prosim poradte pocital sem integral 1/sin(x) dx a nenapada me co s tim :-/

gladiator01

čti a pak se ptej:

Code:

2) Pokud máte problém s nějakým integrálem, derivací nebo obyčejnou 
diferenciální rovnicí, zkuste před zadáním dotazu vyzkoušet některý z online-nástrojů.
Například MAW vám standardní příklad spočítá i s postupem, a to v češtině. Dostanete 
tak okamžitou a podrobnou reakci. Seznam dalších nástrojů najdete v tématu Odkazy.

http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=cs&form=integral

Crusty · 01. 08. 2009 12:46

ano pouzivam, to jen vzdycky vyjde jiny vysledek nez je ve vysledcich ve sbirkach :-/

Kondr · 01. 08. 2009 13:13 — Editoval Kondr (01. 08. 2009 13:20)

↑ Crusty:
substituce cos(x)=t, -sin(x)dx=dt
$\int\frac{dx}{sin(x)}=\int\frac{sin(x)dx}{sin^2(x)}=\int\frac{-dt}{1-t^2}=\int\frac{-0.5 dt}{1-t}+\frac{-0.5 dt}{1+t}=-0.5(\ln|1+t|-\ln|1-t|)$ ,
teď stačí za t doplnit cos(x):
$\int\frac{dx}{sin(x)}=-0.5(\ln|1+cos(x)|-\ln|1-cos(x)|)=\ln\sqrt{|\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}|}$

Existuje nekonečně nnoho způsobů, jak takový výsledek zapsat. Některé z těch hezčích využívají vzorců pro sin(x/2) a cos(x/2). Napiš výsledek ze sbírky a zjistíme, jestli je OK.

Ginco · 01. 08. 2009 13:31 — Editoval Ginco (01. 08. 2009 13:33)

↑ Crusty:

$sin{x}=2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}=2tg{\frac{x}{2}}cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}$

$\frac{1}{sin{x}}=...=\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{2tg{\frac{x}{2}}}$

takže můžeme zkusit spočítat integrál

$\int{\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{2tg{\frac{x}{2}}}}dx->\text{substituce}$

$tg{\frac{x}{2}}=t\rightarrow{{\frac{x}{2}}}=arctg{t}\rightarrow{x=2arctg{t}}$ šipky jsou implikace

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$

a dosadím

$\int{\frac{1+t^2}{2t}\frac{2dt}{1+t^2}}=\int{\frac{dt}{t}}=ln{t}+C->\text{zpetna substituce}$

$\int{\frac{1}{sin{x}}}=ln({tg{\frac{x}{2}}})+C$ $C\in R$

Crusty · 01. 08. 2009 13:52

diky Vam moc

matge · 04. 03. 2015 20:24

↑ Ginco:
můžu se zeptat, jak přesně byl odvozen ten vzorec? (sinx=2sinx.....=2tg(x/2)....)

Dík

misaH · 04. 03. 2015 20:38 — Editoval misaH (04. 03. 2015 20:43)

$sin{x}=2sin{\frac{x}{2}}cos{\frac{x}{2}}=2tg{\frac{x}{2}}cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}$

Nemôžeš sa pýtať presnejšie?

V druhom kroku sa využil vzťah pre dvojnásobný uhol.

V treťom sa sinus kvôli tangens delil kosínus, preto sa kosínus muselo hneď aj násobiť

$2tg{\frac{x}{2}}cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{\frac{1}{\cos^2 \frac x2}}=\cdots$

V poslednom menovateli sa 1 nahradí výrazom $\sin^2 \frac x2+\cos^2 \frac x2=1$

Matematické Fórum

#1 01. 08. 2009 11:52

integral 1/sin(x) dx

#2 01. 08. 2009 12:18 — Editoval gladiator01 (01. 08. 2009 12:18)

Re: integral 1/sin(x) dx

Code:

#3 01. 08. 2009 12:46

Re: integral 1/sin(x) dx

#4 01. 08. 2009 13:13 — Editoval Kondr (01. 08. 2009 13:20)

Re: integral 1/sin(x) dx

#5 01. 08. 2009 13:31 — Editoval Ginco (01. 08. 2009 13:33)

Re: integral 1/sin(x) dx

#6 01. 08. 2009 13:52

Re: integral 1/sin(x) dx

#7 04. 03. 2015 20:24

Re: integral 1/sin(x) dx

#8 04. 03. 2015 20:38 — Editoval misaH (04. 03. 2015 20:43)

Re: integral 1/sin(x) dx

Zápatí