Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
![$
\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\cdot k\cdot\frac{1}{{2n\choose k}}
&=\sum_{k=1}^{2n-1}(-1)^{k-1}\cdot k\cdot (2n+1)\cdot\int_{0}^{1}x^k\cdot (1-x)^{2n-k}\mathrm dx\\[1em]
&=(2n+1)\cdot\int_{0}^{1}(1-x)^{2n}\cdot\sum_{k=1}^{2n-1}k\cdot (-1)^{k-1}\cdot\left (\frac{x}{1-x}\right )^k\mathrm dx\\[1em]
&=(2n+1)\cdot\int_{0}^{1}(1-x)^{2n}\cdot\left [(1-x)\cdot (2n-x)\cdot\left (\frac{x}{1-x}\right )^{2n}+x\cdot(1-x)\right ]\mathrm dx\\[1em]
&=(2n+1)\cdot\int_{0}^{1}\left [(1-x)^{2n}\cdot (2n-x)\cdot x^{2n}+x\cdot (1-x)^{2n+1}\right ]\mathrm dx\\[1em]
&=(2n+1)\cdot\left [2n\int_{0}^{1}x^{2n}\cdot (1-x)\mathrm dx-\int_{0}^{1}x^{2n+1}\cdot (1-x)\mathrm dx+\int_{0}^{1}x\cdot (1-x)^{2n+1}\mathrm dx\right ]\\[1em]
&=(2n+1)\cdot\left [2n\cdot\frac{1}{(2n+2)\cdot{2n+1\choose 2n}}-\frac{1}{{2n+2\choose 2n+1}}+\frac{1}{{2n+2\choose 1}}\right ].
$](/mathtex/c3/c3cf8130f3333f0b648fcd042f674ed9.gif "kopírovat do textarea")
