Matematické Fórum

jaryss · 04. 06. 2018 19:32 — Editoval jaryss (04. 06. 2018 19:34)

Zdravím, uměl by mi někdo poradit s tímto příkladem? Našel jsem už podobné téma, už to tady někdo řešil, ale nějak se v tom pořád nedokážu zorientovat...

určete předpis lineární lomené fce $\omega =f(z)$ která zobrazuje komplexní čísla
Z1= -1 $\omega _{1}=0$
Z2= 2 na komplexní čísla $\omega _{2}=-1$
Z3= $\infty$ $\omega _{3}=1$

rovnice lineární lomené fce je $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ale asi nevím jak tam dosadit :-(

Ferdish

Patrí sa dodržiavať prijaté označenie, teda $\omega =\frac{az+b}{cz+d}$ .

Dosaď za $z_1,z_2,z_3$ do predpisu funkcie $\omega$ a polož ich rovné ich funkčným hodnotám.

Tvoje komplexné čísla $z_1,z_2,z_3$ sú rýdzoreálne a rovnako sú rýdzoreálne aj ich obrazy cez funkciu $\omega$ , čo nám dosť veľa vecí uľahčí...

jaryss · 04. 06. 2018 20:10

↑ Ferdish:
takže takto?

$0=\frac{-a+b}{-c+d}$
$-1=\frac{2a+b}{2c+d}$
$\infty=\frac{a+b}{c+d}$

Ferdish · 04. 06. 2018 20:49

Posledná rovnosť je nesprávna, za $z$ máš dosadiť nekonečno a $\omega (\infty )=1$ .

Priamo to však riešiť nepôjde. Skús to previesť na limitu pre $z \rightarrow \infty$ .

jaryss · 04. 06. 2018 21:13 — Editoval jaryss (04. 06. 2018 21:53)

už to vidím.. moje chyba. takže takhle?

1) $0=\frac{-a+b}{-c+d}$

2) $-1=\frac{2a+b}{2c+d}$

3) $1=\frac{(\lim_{z\to\infty}za)+b}{(\lim_{z\to\infty}zc)+d}$

jak bych měl postupovat dále?

Aspro1 · 04. 06. 2018 22:15

U té třetí rovnice nedává smysl zápis ve formě podílu limit. Napsal bych to takhle:

$1 = \lim_{z \to \infty} \frac{az + b}{cz + d} = \lim_{z \to \infty} \frac{\frac{1}{z} (az + b)}{\frac{1}{z} (cz + d)} = \ldots$

jaryss · 04. 06. 2018 22:31

a tyto 3 "rovnice" jsou teda výsledek?

Aspro1 · 04. 06. 2018 22:49

Ne, potřebujeme z nich vypočítat čísla $a, b, c, d$ .

jaryss · 05. 06. 2018 01:16

čísla $a,b,c,d$ nebo $f(-1), f(2), f(\infty )$ ??

můžu postupovat takto?

$a,b,c,d\in \mathbb{C}$
c není rovno 0
bc - ad není 0

$(az + b) / (cx +d) = \frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d}$ ....

$\frac{a}{c}+\frac{1}{z+\frac{d}{c}}*\frac{bc-ad}{c^{2}}$

Ferdish

Hodnoty $f(-1), f(2), f(\infty )$ máš predsa v zadaní. Ku každej hodnote vieš po dosadení príslušného z-ka priradiť výraz zložený iba z parametrov $a,b,c,d$ . Cez ne sa vieš dopracovať k vzťahom medzi jednotlivými parametrami a k ich hodnotám, pretože ich potrebuješ poznať, aby si zostrojila hľadanú funkciu.

Napr. zo vzťahu 1) v tvojom príspevku #5 ti vyplýva, že $a=b$ (porozmýšľaj prečo) a zároveň $c\not =d$ (znova porozmýšľaj prečo).

Podobne postupuj pri vzťahoch 2) a 3), vo vzťahu 3) najprv vypočítaj limitu, ako to spraviť ti už naznačil kolega ↑ Aspro1:. Využi pritom už známe vlastnosti parametrov zistené zo vzťahu 1).

jaryss · 05. 06. 2018 10:23

takto?

1) $a=b$ , $c\not =d$ - ve jmenovateli nemůže být 0
2) $a=b \Rightarrow a= \frac{-2c-d}{3}$ , $2c\not =-d$ - ve jmenovateli nemůže být 0
3) $\lim_{z \to \infty} \frac{az + b}{cz + d} = \lim_{z \to \infty} \frac{\frac{1}{z} (az + b)}{\frac{1}{z} (cz + d)} =1$

jak můžu použít tu limitu pro další výpočet?

Ferdish

↑ jaryss:
Počítali ste na strednej limity reálnej premennej? Tu je to rovnaké, akurát premenná je komplexná, ale to nevadí, pretože zadané hodnoty premenných aj ich funkčné hodnoty sú rýdzoreálne, teda je silný predpoklad, že samotná hľadaná funkcia bude tiež rýdzoreálna.

↑ Aspro1: ti už naznačil, ako začať pri výpočte. Tak ju vypočítaj, pokojne si môžeš komplexnú premennú $z$ nahradiť reálnou premennou, výsledok bude rovnaký.
Konkrétny príklad je triviálny dokonca aj pre SŠ. Problém môže byť snáď len vtedy, ak ste na strednej škole limity nepočítali...

Hint: vedel by si vypočítať tákúto limitu?

$\lim_{z \to\infty }\frac{2z+5}{3z+7}$

jaryss · 05. 06. 2018 11:48

takto?
$\lim_{z \to\infty }\frac{2z+5}{3z+7}=\frac{2}{3}$

Právě že moc ne...

Ferdish · 05. 06. 2018 18:34

↑ jaryss:
Správne...a ako by tá istá limita vyzerala, keby bola zapísaná takto?

$\lim_{z \to\infty }\frac{az+b}{cz+d}$

jaryss napsal(a):
Právě že moc ne...

Tá poznámka patrila k počítaniu limít na SŠ? A ako k tomu pristupujú na výške resp. na odbore, ktorý študuješ? Mali ste nejaký stručný úvod do limity funkcie reálnej premennej (napr. v rámci Matematickej analýzy)?

Ferdish · 06. 06. 2018 13:49

Tak čo, podarilo sa ti to nakoniec vypočítať?

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2018 19:32 — Editoval jaryss (04. 06. 2018 19:34)

Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#2 04. 06. 2018 20:04 — Editoval Ferdish (04. 06. 2018 20:10)

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#3 04. 06. 2018 20:10

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#4 04. 06. 2018 20:49

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#5 04. 06. 2018 21:13 — Editoval jaryss (04. 06. 2018 21:53)

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#6 04. 06. 2018 22:15

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#7 04. 06. 2018 22:31

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#8 04. 06. 2018 22:49

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#9 05. 06. 2018 01:16

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#10 05. 06. 2018 03:13 — Editoval Ferdish (05. 06. 2018 03:15)

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#11 05. 06. 2018 10:08 Příspěvek uživatele kotry byl skryt uživatelem kotry. Důvod: omyl

#12 05. 06. 2018 10:23

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#13 05. 06. 2018 11:13 — Editoval Ferdish (05. 06. 2018 11:26)

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#14 05. 06. 2018 11:48

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

#15 05. 06. 2018 18:34

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

jaryss napsal(a):

#16 06. 06. 2018 13:49

Re: Lineární lomená funkce - komplexní čísla

Zápatí