Matematické Fórum

Pluhtik · 09. 06. 2018 20:12

Zdravím,
mám ještě jeden dotaz. Jedná se o lineární zobrazení.
Zadání je takové:
Nechť $\varphi$ je lineární zobrazení prostoru $R^{3}$ do sebe, které je projekcí na rovinu 3x - y = 0. Určete matici zobrazení $\varphi$ ve standardní bázi.
Chápu veškerý postup (nejprve si určím kromě vektoru u = (3, -1, 0) také vektory v = (1, 3, 0) a w = (0, 0, 1) - zde chápu, jak jsem je určil a proč právě tyto). Tím mi vznikne báze $\alpha$ .
Potom ale dostanu $(\varphi )_{\alpha , \alpha }$ = (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) - (jedná se o matici, kdy každá závorka je právě jeden sloupec, kde 1. číslo 1. závorky je vlevo nahoře a poslední číslo poslední závorky vpravo dole).
Nechápu, jak je možné tuto matici určit.
Předem díky za odpověď.

kryštof · 10. 06. 2018 14:51

↑ Pluhtik:
Ahoj, ty jsi našel bázi v R3, která je z vektorů u,v,w. Vektor u je normálový vetor té roviny, proto $\varphi$ ho zobrazí na nulu. Vektory v a w jsi našel tak, aby v dané rovině "ležely," proto se zobrazí samy na sebe. Nyní postupuješ pouze podle definice matice lineárního zobrazení, tj u,v,w postupně zobrazíš a souřadnice jejich obrazů vzhledem k bázi $\alpha$ napíšeš do sloupců
$(\varphi)_{\alpha \alpha}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .
Pokud standardní bází myslíš kanonickou bázi tak ještě musíš najít matici přechodu $A:=(1_{ R^{3}})_{K\alpha}$ (K je kanonická báze) a použít $(\varphi)_{KK}= A(\varphi)_{\alpha \alpha}A^{-1}$ .

Pluhtik · 10. 06. 2018 15:02

Ano, to chápu, ten další postup.
Šlo mi jen o to, že obecně jsem netušil, proč se vektor u zobrazí na nulu. Normálový vektor roviny tedy v rovině neleží, proto se zobrazí v tomto zobrazení na nulu, ale když to je nějaký vektor, který v ní leží (obecně vektor kolmý na normálový), tak se zobrazí sám na sebe?

A co případ, kdy by vektor v rovině neležel a ani to nebyl její normálový vektor? Na co, by se zobrazil?

laszky · 10. 06. 2018 15:15

↑ Pluhtik:

Ahoj, ja bych zvolil primocarejsi postup: Hledam matici $\mathbb{P}$ takovou, ze pro libovolny vektor $\boldsymbol{v}$ lezi $\mathbb{P}\boldsymbol{v}$ v pozadovane rovine, to znamena, ze

$\mathbb{P}\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \alpha \boldsymbol{u}$ ,

kde cislo $\alpha\in\mathbb{R}$ se zvoli tak, aby $\boldsymbol{u}^T\mathbb{P}\boldsymbol{v}=0$ , neboli $\alpha = -\frac{\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}|^2}$ , takze

$\mathbb{P}\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} -\frac{\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}|^2} \boldsymbol{u} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{u} \frac{\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}|^2} = \left(\mathbb{I}-\frac{1}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T\right)\boldsymbol{v}$

a hledana matice je $\mathbb{P}=\mathbb{I}-\frac{1}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T$ .

Pluhtik · 10. 06. 2018 15:29

↑ laszky:
Ahoj, díky za odpověď, ale nepochopil jsem polovinu z toho. Říkáš, že P je matice, v je vektor a Pv je tedy co? A I?

Nejsem student matematiky, takže to nepotřebuji znát do detailů a ani neznám. Zítra mám zkoušku a potřebuji, abych získal pár bodů z lineárního zobrazení, kdyby se tam objevilo (bylo na něj 1 cvičení a 1 přednáška, takže jsme dělali zřejmě jen základy).
Spoléhám, že na zkoušce mě zachrání jiné látky (lineární programování, Leslieho modely růstu, Euklidovská a afinní geometrie atd., což chápu podstatně lépe než zobrazení).

laszky · 10. 06. 2018 15:40

↑ Pluhtik:

$\mathbb{P}\boldsymbol{v}$ je soucin matice krat sloupcovy vektor a vysledkem je sloupcovy vektor, $\mathbb{I}$ je jednotkova matice, $\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T$ je soucin sloupcoveho vektoru s radkovym (v tomto poradi) a vysledkem je matice.

V tvem pripade:

$\mathbb{P}=\mathbb{I}-\frac{1}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^T = \begin{pmatrix}1&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1\end{pmatrix} - \frac{1}{3^2+(-1)^2+0^2} \begin{pmatrix}3\cr-1\cr0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\cr0&1&0\cr0&0&1\end{pmatrix} - \frac{1}{10}\begin{pmatrix}9&-3&0\cr-3&1&0\cr0&0&0\end{pmatrix} = \cdots$

Pluhtik · 10. 06. 2018 15:45

↑ laszky:To asi není to, co by po nás přímo chtěli (každý příklad by se měl vejít na jednu stránku A4 a to už by se mi s dalšími výpočty, jako matice přechodu atd. nevešlo, navíc by takový výpočet byl citelnou ztrátou času). I tak díky za radu.

Můžu jen požádat o odpověď na svůj předchozí dotaz z času 15:02? Předem moc díky :)

kryštof

↑ Pluhtik:
Normálový vektor je k té rovině kolmý (podle definice), proto se zobrazí na nulu. Pokud v rovině vektor leží, pak zobrazení $\varphi$ ho pochopitelně zobrazí na něj samotný. Pokud vektor neleží v rovině a ani k ní není kolmý, pak určit, kam ho zobrazení $\varphi$ "pošle," to je přece v podstatě cílem téhle úlohy. Zobrazí se na $(\varphi )_{KK}\cdot(vektor)$

laszky · 10. 06. 2018 16:16

↑ Pluhtik:

A co případ, kdy by vektor v rovině neležel a ani to nebyl její normálový vektor? Na co, by se zobrazil?

Zobrazi se na vektor, ktery lezi v te rovine a je (ortogonalni) projekci puvodniho vektoru.

Btw, pokud pouzijes ten postup pres ty matice prechodu, potom

$\mathbb{A}=\begin{pmatrix}3&1&0\cr-1&3&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$ , $\mathbb{A}^{-1}=\begin{pmatrix}3/10&-1/10&0\cr1/10&3/10&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$ ,

A zjistis, ze $(\varphi)_{\alpha,\alpha}=\begin{pmatrix}1/10&3/10&0\cr3/10&9/10&0\cr0&0&1\end{pmatrix}$ ,

coz je ta matice $\mathbb{P}$ , kterou jsem ti psal vyse a pri jejimz odvozeni jsi nemusel pocitat zadnou inverzni matici, resp matice prechodu.

Pluhtik · 10. 06. 2018 16:17

kryštof napsal(a):
↑ Pluhtik:
Normálový vektor je k té rovině kolmý (podle definice), proto se zobrazí sám na sebe.

Chtěl jsi napsat na nulu?

kryštof · 10. 06. 2018 16:18

↑ Pluhtik:
Ano, samozřejmě, promiň.

Pluhtik · 10. 06. 2018 16:19

↑ laszky: Aha, chápu. Já totiž věděl, jak použít matice přechodu atd. jen jsem potřeboval zjistit, jak přijdu na to $\varphi _{\alpha , \alpha }$ . Myslel jsem, že tvůj postup řeší právě tohle.

Pluhtik · 11. 06. 2018 14:50

Chci oběma moc poděkovat:) Lineární zobrazení bylo na zkoušce a z 5 možných bodů jsem dostal 4,5. Bez vás bych tolik určitě neměl. Strhli mi půlbod za to, že jsem špatně určil inverzní matici k $(id)_{\varepsilon , \alpha }$ .
Ze zkoušky mám 13 bodů z 20, přičemž jsem potřeboval pouhých 8, abych udělal předmět :) Lineární zobrazení mi ale pomohlo k lepší známce :)

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2018 20:12

Lineární zobrazení

#2 10. 06. 2018 14:51

Re: Lineární zobrazení

#3 10. 06. 2018 15:02

Re: Lineární zobrazení

#4 10. 06. 2018 15:15

Re: Lineární zobrazení

#5 10. 06. 2018 15:29

Re: Lineární zobrazení

#6 10. 06. 2018 15:40

Re: Lineární zobrazení

#7 10. 06. 2018 15:45

Re: Lineární zobrazení

#8 10. 06. 2018 16:15 — Editoval kryštof (10. 06. 2018 16:19)

Re: Lineární zobrazení

#9 10. 06. 2018 16:16

Re: Lineární zobrazení

#10 10. 06. 2018 16:17

Re: Lineární zobrazení

kryštof napsal(a):

#11 10. 06. 2018 16:18

Re: Lineární zobrazení

#12 10. 06. 2018 16:19

Re: Lineární zobrazení

#13 11. 06. 2018 14:50

Re: Lineární zobrazení

Zápatí