Matematické Fórum

Fanula311 · 11. 06. 2018 11:55

Dobrý den,

potřeboval bych poradit s následujícím příkladem: Při jakých rozměrech bude mít otevřená vana s půlkruhovým průřezem, který má daný povrch $3\cdot\pi$ , největší objem?

Vyjádřil jsem si povrch a objem pro celou vanu z polokoule a půlky rotačního válce:
$S_{vana}=2\cdot \pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r\cdot v$
$V_{vana}=\frac{2}{3}\cdot \pi \cdot r^{3}+\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot v}{2}$

Pak jsem si vyjádřil z rovnice $S_{vana}$ výšku válce $v$ (délka vany) a dosadil do rovnice $V_{vana}$ :
$v=\frac{S_{vana}-2\cdot \pi \cdot r^{2}}{r\cdot \pi }$ , po dosazení:
$V_{vana}=\frac{2\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}+\frac{r\cdot (S_{vana}-2\cdot \pi \cdot r^{2})}{2}=\frac{2\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}+\frac{r\cdot S_{vana}}{2}-\pi \cdot r^{3}$ .

Po té jsem derivoval $V_{vana}$ podle $r$ a tento výraz položil rovný nule (hledám extrém-první derivace rovna nule):
$\frac{dV_{vana}}{dr}=2\cdot \pi \cdot r^{2}+\frac{S_{vana}}{2}-3\cdot \pi \cdot r^{2}=0$ . Odtud jsem pak vypočítal $r$ s dosazením za $S_{vana}=3\cdot \pi$ :
$r=\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Zde jsem se zastavil protože má být $r=1$ .

Mohl by mi někdo prosím poradit, kde mám chybu?