Matematické Fórum

domisidlova · 13. 06. 2018 17:39

Dobrý den, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem, protože vůbec nevím, jak na něj.

V rovině: $\varrho : x + y - z + 1 =0$ určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky p = $\{[2+t;3;t], t\in R\}$ byla 6 a současně vzdálenost bodu M od souřadnicové roviny dané osami x, y byla 4.

Nejdále jsem se dostala k určení z-ové souřadnice bodu M podle vzorečku pro vzdálenost bodu od roviny. Vyšlo mi tedy: bod M1[m1,m2,4] a M2[m1,m2,-4].

Dál už jsem nevěděla co. Předem děkuji za pomoc.

VÝSLEDEK:
M1[6,-3,4]
M2[-2,5,4]
M3[-2,-3,-4]
M4[-10,5,-4]

Al1 · 13. 06. 2018 19:15 — Editoval Al1 (13. 06. 2018 19:17)

↑ domisidlova:
Zdravím,
bod $M[m_{1}, m_{2},4]$ leží v rovině $\varrho : x + y - z + 1 =0$ , jeho souřadnice jsou $M[m_{1},3- m_{1},4]$ . Tímto bodem prolož rovinu $\sigma$ , která je kolmá k přímce p, jejíž směrový vektor je normálovým vektorem roviny $\sigma$ . Spočítej průsečík R přímky p a $\sigma$ . Vyjádři vzdálenost bodů M, R a polož ji rovnu 6.
Stejný postup i pro bod se z=-4.

Rumburak

↑ domisidlova:

Ahoj. Naznačím další možnost postupu.

1. Bod $M=[u, v, w]$ má mít od souřadnicové roviny dané osami x, y vzdálenost 4 ,
odtud $|w| = 4$ , tj. $w = 4$ nebo $w= -4$ .

V dalším předpokládejme $w = 4$ .

2. Aby bod $M$ měl od přímky $p = \{[2+t;3;t], t\in R\}$ vzdálenost 6 , musí být
$|PM| = 6$ , kde $P$ je kolmý průmět bodu $M$ do přímky $p$ . Tím dostaneme rovnici
tvaru

(1) $f(u, v) = 6$ .

3. Má-li bod $M$ navíc ležet v rovině $\varrho : x + y - z + 1 =0$ , musí být vedle (1)
splněna ještě rovnice $u + v - 4 + 1 =0$ . Získáváme tak soustavu dvou rovnic o dvou
neznámých $u, v$ .

Případ $w = -4$ by se řešil analogicky.