Matematické Fórum

Ahoj Ferdish
Tu mas proti priklad. 
Mame

A ako mozes konstatovat
nie je diagonazivatelna.

↑ Ferdish:
Udrel si kliniec po hlavičke,totiž riešim jednu úlohu z algebry,jedná sa o izomorfizmus medzi komplexnými číslami a maticami....je to z knihy Motl,Záhradník Pestujeme lineární algebru,avšak je tam bez dôkazu.  Kompl. číslu a+bi priradzujú maticu ,ktorá má na hlavnej diagonále prvok a ,teda prvky zodpovedajúcej matice X:  =  =a  ,  prvky = b a prvok = -b. Ospravedlnujem sa za takúto notáciu,ale nevedel som,ako napísať maticu.  Ale k veci : Ak má byť komplexnému číslu priradená matica,musí mať špecialny tvar daný tým,že násobenie matíc nie je komutatívne,ale násobenie komplexných čísel áno...takže hľadám vhodný tvar tejto matice,aby som pokročil dalej.

Vzhĺadom na to,že inverzné číslo    ku komplexnému číslu z sa dá napísať ako =

a inverzná matica ku hĺadanej matici X sa dá napísať ako ,tak výraz zodpovedá determinantu hladanej matice,čo dáva 4 možnosti ,2 možnosti pre prvky na hlavnej diagonále ,bud x11 = x22 =a,alebo x11=x22=-a. Pre prvky x12 a x21 mám možnosti x11=-b,x22=b alebo opačne. lenže tento postup sa mi nepáči,síce by som vyskúšním a overením dostal hladanú maticu,ale príliš to nezodpovedá matematickej cti,lebo defakto tipujem. No a preto uvažujem nad takým tvarom komutatívnych matíc,aby som správnu možnost vybral jednoznačne.

↑ vanok:

Vdaka za námahu,ale nepomohlo. Uvedom si,že totiž ty už poznáš správny izomorfizmus,preto je ľahké urobiť súčin,ako si ho napísal,ale ja musím vychádzať iba z toho,že poznám len determinant a správny tvar určiť na základe iných úvah. predpokladám,že komutaívne matice majú v mojom prípade taký tvar,ktorý sa akosi odrazí v symetrii jej prvkov. A ja sa snažím dopracovať k tomuto tvaru na základe vlastnosti nekomutatívneho násobenia. Tvoja metóda je jednoduchá len preto,lebo máš maticu 2x2 prislúchajucu komplexnému číslu,ale už o dosť zložitejšie by to bolo,keby si hladal izomofizmus medzi maticami a oktonionmi. tam už by to nešlo metódou "pozriem a vidím."  Možno sa ti zdajú moje požiadavky divné,ale ja poznám iné riešenie problému(analógia medzi násobením rotačnou maticou a násobením komplexným číslom s modulom rovným 1 ako rotácia o roviny o uhol ) ,mne sa jedná o úplnosť mojej metódy.(teda pokiaľ vôbec sa mojou metódou dá dopracovať k riešeniu)

UnionPacific napsal(a):

↑ vanok:

Vdaka za námahu,ale nepomohlo. Uvedom si,že totiž ty už poznáš správny izomorfizmus,preto je ľahké urobiť súčin,ako si ho napísal,ale ja musím vychádzať iba z toho,že poznám len determinant a správny tvar určiť na základe iných úvah. predpokladám,že komutaívne matice majú v mojom prípade taký tvar,ktorý sa akosi odrazí v symetrii jej prvkov. A ja sa snažím dopracovať k tomuto tvaru na základe vlastnosti nekomutatívneho násobenia. Tvoja metóda je jednoduchá len preto,lebo máš maticu 2x2 prislúchajucu komplexnému číslu,ale už o dosť zložitejšie by to bolo,keby si hladal izomofizmus medzi maticami a oktonionmi. tam už by to nešlo metódou "pozriem a vidím."

Mám ale takový pocit, že postup typu "uhádni správné řešení, a pak už jen dokaž, že je to správné řešení" je v matematice celkem oblíbený....

(ale samozřejmě netvrdím, že v tomto případě nelze ke správnému řešení nějak dospět).

Taky mě napadlo, že na ten způsob, jak reprezentovat komplexní čísla pomocí matic lze dojít jinak než skrze komutativitu.

Pokud máme komplexní číslo a+ib a násobíme jej reálným číslem k, musí to odpovídat násobení komplexním číslem k+i0.

No a násobit matici reálným číslem je to samé, jako vynásobit jím nejprve jednotkovou matici a tou poté násobit.

Takže K = k * I - a tak tedy musí vypadat reálná část komplexního čísla.

U imaginární části je to podobné, pokud násobíme a+ib číslem ik, dostaneme -kb + ika.

Takovéhoto prohození už samozřejmě nedosáhneme jednotkovou maticí, ale asi (nezkoušel jsem to) nedá moc práce přijít na to,
že jediný možný tvar té matice která zajistí prohození a <-> b a dá tam tu -1, bude




Pak už ty dvě nalezené matice (reprezentující reálná a imaginární čísla) můžeme sečíst a ověřit, zdali pro ně platí i ostatní věci, co by měly platit pro komplexní čísla.

Krom komutativity musíme podle mě třeba dokázat také to, že čísla na diagonálách budou vždycky stejná, že při všech možných operacích, co můžeme s maticemi dělat, nikdy nevznikne nějaká neplatná kombinace, jež by už komplexní číslo nereprezentovala.

ďakujem za zaujímavé názory,ale aj tak ma to nejako nikam neposunulo. Mne je samozrejme jasné,akú maticu je treba priradiť realnemu číslu a(diagonalnu s čislom a ) a aj som odvodil maticu prisluchajucu imaginarnej jednotke,takže stači tieto matice zložiť dohromady a je to.Ale o to mi nešlo.  Skúsim to napísať ešte inak : Existuje spôsob,akým je možné pridadiť komplexnemu číslu maticu iba na základe úvah o  nekomutativite násobenia matic....teda zo všetkých možných matíc komutativnych k danej matici X vybrať práve jednu zámennú Y ,ktorá bude vo svojich prvkoch odrážať symetriu takým istým sposobom ako X , a zároven sa táto symetria prejví aj na ich súčine.....touto symetriou myslím fakt:(toto je len moja domnienka) : prvky na diagonale su rovnaké,prvky mimo opačné....

↑ UnionPacific:,
Mala otazka. 

Zda sa  ti  prirodzene povazovat maticu ako komlexne cislo?

Ak ano tak najdi vsetki matice , ktore s nou komutuju.   A potom ukonci tvoj dokaz.

Cau ↑ UnionPacific:,
Vsak napis

To ti da jeden system.  Uvidis budes velmi prekvapeny z vysledkom.