Matematické Fórum

moab · 15. 08. 2018 17:36

Mám pár příkládků na transformaci, nepřipadají mi složité, ale výsledek mám vždy v nějakém násobku. Tak tedy první příklad:
Určete obsah oblasti určené nerovnostmi $\left( x^2+y^2 \right)^3 \le 8xy\left( x^2-y^2 \right),\,x,y\ge0$ .
Takže polárními souřadnicemi dosadím a upravím na $r^2 \le 2\sin{4t}$ . Meze jsou tedy podle mě $0 < t < \frac{\pi}{2}$ (protože jsem v prvním kvadrantu, ale dokázaný to nemám) a $0<r<\sqrt{2\sin{4t}}$ .
Integrál je pak $\int_{0}^\frac{\pi}{2} {\int_{0}^{\sqrt{2 \sin {4t}}} {r\,} \mbox{d}r\,} \mbox{d}t$ . Ten se rovná nule, což je špatně.
Takže kde dělám chybu? Jak správně spočítám t-ovou mez (vždy to jen odhaduju...).
Díky!

kerajs · 15. 08. 2018 18:03

moab napsal(a):
$r^2 \le 2\sin{4t}$ . Meze jsou tedy podle mě $0 < t < \frac{\pi}{2}$

$(r^2\ge 0)\Rightarrow (2\sin 4t\ge 0)\Rightarrow (0\le t\le \frac{\pi}{4})$

moab · 15. 08. 2018 18:52

↑ kerajs:Ok, díky, jasný. Nemůže to být Pí půl. Ale čistě teoreticky je ten výraz kladný i na intervalu $0 \le t \le \frac{\pi}{8}$ . Proč beru v tomto případě "maximální" interval?

kerajs · 15. 08. 2018 19:01 — Editoval kerajs (16. 08. 2018 06:02)

x,y v prvním kvadrantu.
$[(x^2+y^2)^3\ge 0]\Rightarrow [8xy(x^2-y^2)\ge 0] \Rightarrow (x^2-y^2\ge 0)\Rightarrow \\ \Rightarrow (|x|\ge |y|)\Rightarrow (x\ge y)\Rightarrow t\in \langle 0,\frac{\pi}{4}\rangle$

moab · 16. 08. 2018 08:18

↑ kerajs:Hezké, díky, o to mi přesně v tom příkladu šlo.

Matematické Fórum

#1 15. 08. 2018 17:36

Dvojný integrál

#2 15. 08. 2018 18:03

Re: Dvojný integrál

moab napsal(a):

#3 15. 08. 2018 18:52

Re: Dvojný integrál

#4 15. 08. 2018 19:01 — Editoval kerajs (16. 08. 2018 06:02)

Re: Dvojný integrál

#5 16. 08. 2018 08:18

Re: Dvojný integrál

Zápatí