Matematické Fórum

Čtyřvektory, symetrie a fyzikální zákony:

Od objevu teorie relativity se začalo věnovat hodně úsilí tzv. symetriím, jež se v přírodě vyskytují - protože se ukázalo, že je to docela dobrá cesta jak uhádnout další fyzikální zákony.

O co tedy jde - o to, že fyzikální zákony nezávisejí na některých "věcech". Například by neměly záviset na poloze v prostoru. Pokud vyrobíme nějaké zařízení, mělo by fungovat v Praze stejně jako v Brně, na Zemi stejně jako na Marsu, nebo i v jiné galaxii. Neřešíme samozřejmě, že na Marsu mohou být jiné podmínky (gravitace, např) než na Zemi. Jde o to, že pokud vytvoříme stejné podmínky, tak zařízení by také mělo fungovat stejně. Nezmění svoji funkci jen proto, že jsme jej v prostoru umístili někam jinam. Říkáme tomu "symetrie vzhledem k posunutí (poloze) v prostoru".

Stejně tak by mělo zařízeni fungovat stejně včera jako dneska nebo jako zítra. Nebo za milion let. Jeho funkce by neměla záviset na "poloze v čase".

Z takovýchto požadavků (nezávislost na poloze v prostoru ani v čase) nám plynou nějaké požadavky na matematický tvar fyzikálních zákonů. Jejich popis nemůže totiž obsahovat přímou závislost na prostorových či časových souřadnicích. Tedy na x, y, z a t. Může obsahovat pouze derivace podle těchto souřadnic.

Další symetrie, kterou náš svět má, je symetrie vůči natočení. Zařízení bude fungovat stejně, ať už jej (třeba ve volném vesmíru) natočíme jakým chceme směrem.

Matematicky zařídit, aby fyzikální zákony nezávisely na "natočení" je trochu složitější, než by se na první pohled mohlo zdát. Potřebujeme totiž dosáhnout toho, aby bylo jedno, jestli "natočíme" nejprve počáteční stav a z něj spočítáme výsledek, nebo jestli nejprve spočítáme výsledek a potom jej "natočíme". Potřebujeme dosáhnout toho, aby se nám "obě strany rovnice natáčely stejným způsobem". Abychom toho dosáhli, musíme použít matematické objekty zvané TENZORY. Příkladem tenzoru, co každý zná je VEKTOR. Pokud bude náš fyzikální zákon popsaný pomocí vektorů, můžeme být v klidu - všechny vektory se transformují stejně. Nezávislost na otočení bude zajištěna.

Můžeme v našich fyzikálních zákonech provádět i různé "kejkle" - můžeme vektory třeba násobit - skalárním součinem dvou vektorů dostaneme skalár, vnějším součinem vektorů dostaneme 2D tenzor (matici), a vše se pořád při otáčení transformuje tím správným způsobem. I diferenciální operátory mohou být vektory (gradient, divergence, rotace), také se transformují jako každý jiný vektor.

No a poslední, a z fyzikálního hlediska asi nejdůležitější (a nejméně intuitivní) je symetrie vůči "pohybu konstantní rychlosti". Pokud se naše zařízení bude pohybovat konstantní rychlostí, bude fungovat stejně, jako kdyby stálo (nebo se pohybovalo nějakou jinou rychlostí). Je to symetrie vůči Lorentzově transformaci.

Abychom tuto symetrii dokázali ve fyzikálních zákonech zajistit, musíme všechny zákony formulovat pomocí čtyř-tenzorů (třeba čtyř-vektorů), tak jako jsme symetrii vůči natočení zajistili pomocí tenzorů (třeba vektorů). A protože čtyřvektor se, co se týká prostorových souřadnic, chová jako vektor, zajistí nám použití čtyřvektorů automaticky i symetrii vůči obyčejné rotaci.

A pokud dodržíme i dříve zmíněný požadavek, že fyzikální zákony nesmějí explicitně záviset na poloze v prostoru a čase, máme "celkem jednoduchý" postup, jak mít naše fyzikální zákony v pořádku. Pokud budou formulovány pomocí čtyřvektorů (případně jiných čtyřtenzorů), budou konzistentní s teorií relativity.


No - je ještě jedna symetrie, o které se v klasické fyzice téměř nemluví - totiž symetrie vůči zrcadlení. Pokud bychom vyrobili zařízení, a potom jeho zrcaldový obraz, bude fungovat stejně, nebo nebude? V klasické fyzice zní odpověď ANO - jak Newtonovy (i relativistické) pohybové zákony, tak i rovnice elektromagnetického pole při zrcadlení nezmění tvar. Pravda - vektor magnetické indukce nám bude mířit na opačnou stranu, ale z toho žádný měřitelný důsledek nevzejde.

V kvantové mechanice je to ovšem jinak - ačkoliv všechny ostatní výše zmíněné symetrie tam platí bez výhrad, symetrie vůči zrcadlení už né. Některé rozpady ovládané slabými interakcemi tuto symetrii narušují. Nejlepším příkladem je polarizace neutrin, tam dochází ke 100% narušení symetrie, všechna neutrina mají jen jednu (levotočivou či pravotočivou, nevím z hlavy kterou) polarizaci, zatímco anti-neutrina mají zase tu druhou. A polarizace by se právě měla při zrcadlení otočit, zatímco částice se na anti-částici nemění.

vanok napsal(a):

Ahoj ↑↑ MichalAld:,Mohol by si nam povedat nieco o priestorovych a casovych vektorovy v tomto priestore? A co su svetelne vektory?

Já úkol (nějak) splnil, teď jsi na řadě ty s grupami....HI.

↑ vanok:
Já se s grupami  nikdy nesetkal, ale takové ty úplné základy si můžu někde přečíst, třeba na wiki.

Něco už jsem pochopil - že to je množina prvků + binární operace splňující jisté axiomy.

Ale jinak o tom nevím v podstatě nic. (ale možná si na něco časem vzpomenu...)

vanok napsal(a):

Ak aplikujes  tuto rotaciu na bod roviny suradnic (1; 0) ( v ortonormalnom systeme priamo orientovanom) tak co  bude jeho obraz ?

V tom je nějaký trik, nebo je odpověď prostě bod o souřadnicích ?

A když ještě jednou, dostaneme (asi) , což se (asi) rovná

Mno, teď se dostáváme do bodu, kdy tak úplně přesně nevím, co se po mě vlastně chce.

Předpokládám, že prvky té grupy mají být ty matice  - matice rotace o úhel , nebo jeho N-násobky).
Taky bych řekl, že to N bude stačit v rozsahu 0, 1, 2, 3, 4.

Mezi těmi maticemi by měla existovat ta binární operace, né ? To odpovídá jejich násobení (skládání rotací).

Měl by existovat "jednotkový prvek" - to je ta matice pro N=0 (jednotková)
a ke každé matici by měla existovat inverzní matice, a to asi existuje (k N=0 je to ta samá, k N=1 je to N=4 a naopak, k N=2 je to N=3 a naopak).

Ještě mě napadá, že ty rotační matice pro jednotlivá N lze vlastně získat tak, že tu první (rotaci o úhel ) umocníme na N.

Dál už nevím, co mám dělat...

To nějak řekněme chápu (modulové sčítání) - protože počítače takto počítají, takže když člověk programuje, tak to musí nějak brát v potaz. Že u 8-bitových procesorů je 255 + 1 = 0

Takže u grupy modulo 5 to bude předpokládám následovně:

0 + 0 = 0,   0 + 1 = 1,   0 + 2 = 2,   0 + 3 = 3,   0 + 4 = 4,   
1 + 0 = 1,   1 + 1 = 2,   1 + 2 = 3,   1 + 3 = 4,   1 + 4 = 0,   
2 + 0 = 2,   2 + 1 = 3,   2 + 2 = 4,   2 + 3 = 0,   2 + 4 = 1,   
3 + 0 = 3,   3 + 1 = 4,   3 + 2 = 0,   3 + 3 = 1,   3 + 4 = 2,   
4 + 0 = 4,   4 + 1 = 0,   4 + 2 = 1,   4 + 3 = 2,   4 + 4 = 3,   


To je řekněme celkem jasné, a že to platí pro matice rotace o úhel , to je asi taky jasné.
Že se ty matice rotace nesčítají ale násobí.

0 by měl být ten "neutrální prvek grupy"

1 by měla být inverzním prvkem ke 4, 2 ke 3 a naopak.

OK, tabulka:

     0 1 2 3 4
    -----------
0 | 0 1 2 3 4
1 | 1 2 3 4 0
2 | 2 3 4 0 1
3 | 3 4 0 1 2
4 | 4 0 1 2 3

Můžeme pokročit dále...

Přijde mi, že krom prvku 0 (kterým nic jiného než 0 nevygenerujeme) by všechny ostatní mohly být generátory:

Třeba 2:

2 + 2 = 4
2 + 2 + 2 = 1
2 + 2 + 2 + 2 = 3
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0


A zdá se, že obdobnou hru lze hrát i s ostatními prvky (krom té nuly).

Ale mám intuitivní pocit, že když by to N bylo jiné, třeba 6, tak by už to takto nefungovalo, a třeba prvkem 2 už bychom všechno nevygenerovali.

OK, zkusím to. N = 6, tj prvky 0, 1, 2, 3, 4, 5

1 bude generátor vždycky, to je celkem jasné.

2 né, to vygeneruje jen 2, 4, 0
3 né, to zase jen 3, 0
4 né, to jen 4, 2, 0
5 asi ano, 5, 4, 3, 2, 1, 0

Zdá se být zřejmé, že pokud je N tím číslem dělitelné, tak to číslo nemůže být generátor.

Jestli se i na čtyřku vztahuje nějaké obecné pravidlo, to teď na první pohled nevidím.

(ještě by to mohlo být tak - ale je to čistě jen nápad, nijak jsem to neanalyzoval - že když nějaký prvek grupy je nebo není generátor, tak k němu inverzní prvek taky je nebo není generátor. Napadlo mě to, protože zrovna na počítačích se ta čísla často interpretují jako tzv "znaménková (signed)", tj namísto 0, 1, 2, 3, 4, 5 je to 0, 1, 2, -3, -2, -1. No a je celkem zřejmé, že pro sčítání záporných čísel platí to samé co pro sčítání kladných).

↑ vanok:
Ahojky.

Takže, dělitelé nuly, to je jasné.

Jednotkový okruh - jestli je to okruh s jednotkovým prvkem, jak je popsané třeba tady na wiki, tak tomu asi rozumím taky. Že existuje krom grupy ještě okruh a těleso, to jsem tak nějak věděl, ale co to je, to moc né.

Ta množina inverzibilních prvků - to se myslí invrzibilní k tomu násobení, že ?

Zkusím teda zjistit, pro naše modulo 5, které nejsou ty inverzibilní.

Pro násobení bude vypadat tabulka předpokládám takto:

     0 1 2 3 4
    -----------
0 | 0 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3 4
2 | 0 2 4 1 3
3 | 0 3 1 4 2
4 | 0 4 3 2 1

Aby byl prvek inverzibilní, musí mít ve svém řádku nebo sloupci jedničku. To jsou v tomto případě, kromě nuly, všechny ostatní.

Dělitelé nuly tu naproti tomu žádné nevidím - což dává smysl, pokud je N prvočíslo.

Když vezmu modulo 4, tak:

     0 1 2 3
    ---------
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3
2 | 0 2 0 2
3 | 0 3 2 1

V tomto případě nejsou prvky 0 a 2 inverzibilní. A dvojka je dělitelem nuly.

Říkám to všechno správně ?

vanok napsal(a):

Na pokracovanie ( dufam, ze ta to stale bavi), kde nieco upresnim o tych generatoroch.

Jo jo, bojím se, že to přestane dřív bavit tebe, než mě.

Zatím tomu nějak rozumím...

Jen se chci ujistit - to Z je tedy množina celých čísel, s, je tedy nějaké libovolné celé číslo, a Zn je je ta množina čísel v grupě modulo n ?

"nedudělitelné" znamená nesoudělné ?

vanok napsal(a):

Ahoj
No najprv male cvicenie
mozes urcit grupu inversibilnych prvkov pre n=2, 3,..., 10?

Nevím, jestli je na to nějaký elegantní trik. Jediné, co mě napadlo, že pokud jsou dva prvky (a, b) inverzibilní,
musí mezi nimi platit a.b =1, což v našem případě modulového dělení znamená, že mezi nimi musí být vztah
a.b = kN + 1. A z toho už se dá poznat, které prvky to splňují.

Takže pro jednotlivá N:
(0 nebude inverzibilní nikdy, 1 asi vždycky, sama se sebou)

N=2:  a.b = 1 nebo 3  - žádný z prvků není inverzibilní
N=3:  a.b = 1 | 4   => 2
N=4:  a.b = 1 | 5 | 9  => 3
N=5:  a.b = 1 | 6 | 1 | 16   => 2, 3, 4
N=6:  a.b = 1 | 7 | 13 | 19 | 25   => 5
N=7:  a.b = 1 | 8 | 15 | 22 | 29 | 36   => 2, 4, 3, 5, 6
N=8:  a.b = 1 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49   => 3, 5, 7
N=9:  a.b = 1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64  =>  2, 5, 4, 7, 8
N=10:  a.b = 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81  =>  3, 7, 9

Doufám, že to mám dobře. Vlastně to odpovídá tomu, co jsi napsal, že inverzibilní čísla musí být nesoudělná s N.