Matematické Fórum

slender · 25. 08. 2018 14:30

Zdravím,
potýkám se s úlohou, ve které mám najít jordanovu normální formu následující matice:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Vytvořil jsem tedy charakteristický polynom matice A:
$(1-\lambda)^2(2-\lambda)^2$

Ze kterého plyne, že má matice vlastní čísla $\lambda_{1, 2}=1, \lambda_{3, 4}=2$ (resp. spektrum matice je $\{1, 1, 2, 2\}$ )

V následujícím kroku ale asi mám chybu v úvaze. Ze svých poznámek a z nalezeného příspěvku na fóru jsem pochopil, že se Jordanova matice skládá z Jordanových bloků na diagonále.

Každý Jordanův blok má rozměry odpovídající násobnosti jednoho z vlastních čísel, toto vlastní číslo má pak taky na diagonále a na superdiagonále má jedničky.

Pokud to chápu dobře, tak násobnost vlastního čísla 1 je 2, neboť se vyskytuje ve spektru dvakrát. Totéž platí i pro vlastní číslo 2.

Usoudil jsem tedy, že Jordanova matice bude mít dva Jordanovy bloky velikosti 2:
$J_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} J_2=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

A Jordanova matice by tedy vypadala takto:
$J_A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Řešení příkladu a Wolfram Alpha se však shodnou na tom, že místo dvou velkých bloků jsou tam čtyři menší:
$J_A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Vysvětlil by mi někdo, prosím, kde dělám chybu?

(Předpokládám, že buď špatně chápu násobnost vlastního čísla nebo nerozumím přesně definici Jordanova bloku?)

Andrejka3 · 25. 08. 2018 15:41

↑ slender:
Skutečně, oba vlastní podprostory mají dimenzi dva.
Je třeba najít strukturu vlastních podprostorů.

Možná, než se podíváš na své poznámky, vyzkoušej si, co dělá zadané zobrazení s jednotlivými vektory.
$J_2\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$
a
$J_2\cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$

a výsledek porovnej s tím, co by dělala matice
$\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}$ s tímtéž.

slender · 25. 08. 2018 19:26

↑ Andrejka3:
Hm, asi jsem se do toho nějak zamotal.

Tohle dělá s maticemi $J_2$ :

Nějak však nevím, co s tím dál. Výsledné vektory jsou lineárně nezávislé, stejně jako kdybych použil $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Trochu jsem ještě pátral na internetu a našel jsem na Wikipedii další schovaný článek věnující se přímo Jordanově rozkladu.

Z něho jsem tak nějak pochopil, že počet lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušných k nějakému vlastnímu číslu určuje počet Jordanových bloků s tímto vlastním číslem na úhlopříčce. Jestli tomu rozumím dobře, tak počtu nezávislých vlastních vektorů vlastního čísla se říká geometrická násobnost?

Pokud tomu tedy dobře rozumím, neboť má vlastní číslo 1 dva lineárně nezávislé vlastní vektory, v matici $J$ budou dva Jordanovy bloky s číslem 1 (a analogicky pro vlastní číslo 2). Protože to dává dohromady 4 Jordanovy bloky a matice má rozměry 4x4, je tím moje úloha vyřešena, protože tím pádem musejí mít všechny bloky rozměry 1x1. (A vyjde to tedy tak, jak tvrdí Wolfram.)

Furt ale nechápu, jak bych měl postupovat v případě, kdy mám třeba vlastní číslo s algebraickou násobností 4 (tedy by charakteristický polynom obsahoval něco jako $(a - \lambda)^4$ , ale tomuhle vlastnímu číslu by příslušely jenom dva vlastní vektory. V ten moment vím, že v $J$ budou dva Jordanovy bloky, ale nevím, jestli budou oba mít rozměry 2x2, nebo třeba jeden bude 1x1 a druhý 3x3. Jak to zjistím?

Andrejka3

V případě, že by byla ta algebraická násobnost 4, lze zkoumat stupeň nilpotence matice $(A-\lambda_0E)$ , tj. hodnost mocnin této matice.
Zobecněný vlastní podprostor by mohl mít tyto struktury:
1) 4 řetízky délky 1 (4 lin nez vlastní vektory). Pak by už první mocnina matice výše byla nulová.
2) 2 řetízky délky 1 a jeden řetízek délky 2 (3 lin nez vlastní vektory), pak druhá mocnina matice výše by měla hodnost 1, třetí hodnost 0
3) 2 řetízky délky 2 (2 lin nez vlastní vektory), druhá mocnina bude mít hodnost 2, třetí hodnost 0
4) 1 řetízek délky 1 a druhý délky 3 (2 lin nez vl vektory), 2. mocnina hodnost 2, třetí 1, čtvrtá už je nulová.

edit 1: Jak je vidět, jen u možností 3 a 4 je geometrická násobnost stejná.

edit 2:

slender napsal(a):
↑ Andrejka3:
Tohle dělá s maticemi $J_2$ :

Nějak však nevím, co s tím dál. Výsledné vektory jsou lineárně nezávislé, stejně jako kdybych použil $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Tam je vidět ta struktura řetízku. Pokud označím $\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix} = u_0$ a $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=u_1$ , je
$A(u_0)=\lambda u_0$ a $A(u_1)=\lambda u_1 +u_0$ , takže
$(A-\lambda E)(u_0) = 0$ a $(A-\lambda E)u_1=u_0$ ,
kde lambda je 1
Symbolicky, řetízek $(A-1\cdot E)$ je $u_1\mapsto u_0\mapsto 0$ .

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2018 14:30

Jordanova normální forma matice

#2 25. 08. 2018 15:41

Re: Jordanova normální forma matice

#3 25. 08. 2018 19:26

Re: Jordanova normální forma matice

#4 25. 08. 2018 19:43 — Editoval Andrejka3 (25. 08. 2018 19:55)

Re: Jordanova normální forma matice

slender napsal(a):

Zápatí