Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 08. 2018 20:34
- check_drummer
- Příspěvky: 4650
- Reputace: 101
Stíhající se body čtverce
Nechť se body čtverce ABCD začnou pohybovat tak, že jejich pohyb směřuje vždy na "následující" bod (tj. A se pohybuje směrem k bodu B, B směrem k bodu C, apod.). Nechť jednotka délky je AB a nechť se všechny body pohybují konstantní rychlostí 1 jednotka za sekundu. Otázka zní: Za jak dlouho se všechny body "setkají"?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#2 28. 08. 2018 20:51
Re: Stíhající se body čtverce
První co mě napadá:
Z předpokladu symetrie úlohy plyne, že body budou pořád tvořit čtverec. Pokud by měly tvořit něco jiného, nepravidelného, nedokázali bychom určit, který z těch bodů by tu nepravidelnost způsobil.
Takže body budou pořád tvořit čtverec, jen se bude postupně zmenšovat. A vektor rychlosti každého bodu svírá tudíž stejný úhel s polohovým vektorem (od středu čtverce), takže by mělo jít o logaritmickou spirálu. Vzorec na její délku předpokládám existuje.
A když jde o pohyb konstantní rychlostí, tak čas odpovídá délce.
Offline
#4 29. 08. 2018 12:05
Re: Stíhající se body čtverce
Offline
#5 29. 08. 2018 23:43
- check_drummer
- Příspěvky: 4650
- Reputace: 101
Re: Stíhající se body čtverce
↑ Honzc:
Zajímavé je to, že u čtverce vychází uražená délka shodná s délkou strany čtverce, což by naznačovalo, že by mohlo existovat nějaké jednodušší odvození než přes délku spirály...
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#7 30. 08. 2018 12:35
Re: Stíhající se body čtverce
↑ Marian:
No že vektor rychlosti bodu míří stejným směrem jako spojnice k dalšímu bodu.
Pokud si polohové vektory bodů označíme jako 
tak musí platit, že 
(předpokládám, že je jasné, že to platí i mezi posledním a prvním bodem).
Šlo by to napsat i trochu jinak, bez toho k, když bychom si vyjádřili směrové vektory (upravili je tak, aby měly jednotkovou velikost).
Offline
#8 30. 08. 2018 12:39
Re: Stíhající se body čtverce
když k tomu přidáme podmínku konstantní velikosti rychlosti
lze to už asi rovnou řešit.
Ale je to N vektorových rovnic, nedává moc smysl takto postupovat. Úvahou o symetrii dojdeme k tomu, že pro každá bod musí platit stejná rovnice, a pak asi bude správná cesta to převést do polárních souřadnic.
Offline