Matematické Fórum

domisidlova · 10. 09. 2018 15:50

Nechť je dána rovnice $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$ s celými koeficienty. Nechť racionální číslo v základním tvaru $\frac{p}{q}$ je kořenem této rovnice. Potom $p|a_{0} \wedge q|a_{n}$ . Dokaž.

Ferdish · 10. 09. 2018 16:55

Tu by sa dal použiť dôkaz mat. indukciou.

Skús využiť tú vlastnosť, že súčet aj súčin dvoch ľubovoľných celých čísiel je znova celé číslo.

laszky · 10. 09. 2018 17:05

↑ domisidlova:

Anebo proste dosad za $x=\frac{p}{q}$ a vynasob celou rovnici $q^n$ . ;-)

domisidlova · 10. 09. 2018 17:53

↑ laszky:
A neměla bych to spíš vynásobit $p^{n}$ ? Protože u toho $a_{0}$ pak dostanu to p a tím bych dokázala, že se to dá p dělit.

Ferdish

↑ domisidlova:
Lenže ty máš dokázať že $p\mid a_0$ , takto by si len dokázala, že $p\mid (a_0p^n)$ , čo je pre prirodzené číslo $n\ge 1$ samozrejmé.

↑ laszky:
Hm, máš nakoniec pravdu. S ohľadom na vlastnosti, čo som spomenul, to ide aj dokázať priamo s rovnicou n-tého rádu. Nie je potrebné robiť dôkaz cez MI :)

domisidlova

↑ laszky:
Dobře, to mi po úpravě vyšlo $a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0$ , ale už nechápu, jak upravit, aby mi vyšlo, že $p|a_{0} \wedge q|a_{n}$ .
Děkuji za odpověď.

laszky · 17. 09. 2018 15:50

↑ domisidlova:

Ahoj, vyuzij toho, ze

$0 = a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=a_np^n + q\left(a_{n-1}p^{n-1}+...+a_{1}pq^{n-2}+a_{0}q^{n-1}\right)$

ale taky

$0 = a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+...+a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=p\left(a_np^{n-1} + a_{n-1}p^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1}\right)+a_{0}q^{n}$

domisidlova · 20. 09. 2018 09:16

↑ laszky:
Děkuju moc, to mi vůbec nedošlo.

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2018 15:50

Důkaz

#2 10. 09. 2018 16:55

Re: Důkaz

#3 10. 09. 2018 17:05

Re: Důkaz

#4 10. 09. 2018 17:53

Re: Důkaz

#5 10. 09. 2018 19:19 — Editoval Ferdish (10. 09. 2018 19:31)

Re: Důkaz

#6 17. 09. 2018 15:01 — Editoval domisidlova (17. 09. 2018 15:01)

Re: Důkaz

#7 17. 09. 2018 15:50

Re: Důkaz

#8 20. 09. 2018 09:16

Re: Důkaz

Zápatí