Matematické Fórum

sqrt(211) · 18. 09. 2018 14:36

Jsem člověk, který nevěří žádným vzorcům, které jen tak „spadly z nebe“, dokud nemám jejich odvození (nejedná-li se o axiomy:-)). Nikde jsem na internetu nenašel odvození vět o logaritmech.

Tuším, že věta o součinu logaritmů nějakým způsobem vychází z $a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}$

Nevíte někdo, jak to odvodit úpravami této rovnice? Budu za ně moc vděčný!!!

laszky · 18. 09. 2018 14:49

↑ sqrt(211):

Ahoj, myslis vztah $\log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c)$ platici pro kazde $b,c>0$ ?

Tam staci dosadit $b=a^x$ a $c=a^y$ , ne?

sqrt(211) · 18. 09. 2018 14:56

Diky moc! Já jsem se to pokoušel nějakým způsobem odvodit přímo z exponenciální funkce, ale vždycky jsem se do toho zamotal, protože jsem nevěděl, které písmenko kam přijde. Nenapadlo mě to takhle jednoduše dokázat zpětně.

Takže: $\log_{a}a^{x+y} = \log_{a}a^{x}+\log_{a}a^{y}$
$x+y = x+y$

jarrro · 18. 09. 2018 15:10 — Editoval jarrro (18. 09. 2018 15:11)

Ak veríš(máš dokázané), že
$a^ma^n=a^{m+n}$
Tak to stačí zlogaritmovať
$\log_{a}{$a^ma^n$}=m+n$
Teda (ak položíme $0<x:=a^m,0<y:=a^n$ )
$\log_{a}{$xy$}=\log_a{$x$}+\log_{a}{$y$}$

MichalAld · 18. 09. 2018 15:35

Také to jde takto:

Nejprve tedy definice funkce logaritmus (použijeme přirozený, ale funguje to i pro každý jiný základ) - ten druhý výraz není tak úplně běžně známý jako ten první, ale platit musí oba.

$x = \ln e^x = e^{\ln x}$

A pak stačí vhodně dosazovat:

$\ln (xy) = \ln(e^{\ln x } e^{\ln y}) = \ln e^{(\ln x + \ln y)} = \ln x + \ln y$

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2018 14:36

Odvození vět o logaritmech

#2 18. 09. 2018 14:49

Re: Odvození vět o logaritmech

#3 18. 09. 2018 14:56

Re: Odvození vět o logaritmech

#4 18. 09. 2018 15:10 — Editoval jarrro (18. 09. 2018 15:11)

Re: Odvození vět o logaritmech

#5 18. 09. 2018 15:35

Re: Odvození vět o logaritmech

Zápatí