Matematické Fórum

sqrt(211) · 20. 09. 2018 12:58

Mohl by mi někdo, prosím, poradit, co dělat, když mi vyjde záporný kořen logaritmické rovnice, ve které je např. $4\log_{}x^{3}$ ?
Protože $3\log_{}x^{4} = \log_{}x^{12}$
A sudý nebo lichý exponent je prostě rozdíl!

vlado_bb · 20. 09. 2018 13:01

↑ sqrt(211): Z toho, co pises, nie je jasne, o co ide. V kazdom pripade ale $\log x$ existuje iba pre $x>0$ .

zdenek1 · 20. 09. 2018 13:19

↑ sqrt(211):

Mohl by mi někdo, prosím, poradit, co dělat, když mi vyjde záporný kořen logaritmické rovnice, ve které je např. $4\log_{}x^{3}$ ?

Pokud budeš např. mít rovnici $4\log x^3=\dots$ , tak případný záporný kořen musíš vyloučit.

Podmínky řešitelnosti stanovuješ vždy u původní rovnice, ne po úpravách.

MichalAld · 20. 09. 2018 18:36

↑ sqrt(211):

Rovnici lze také řešit v komplexním oboru, v tom případě není s definičním oborem logaritmu žádný problém.

Nicméně problém je tam zase jiný - v komplexním oboru není hodnota logaritmu určena jednoznačně, komplexní logaritmus každého čísla může být nekonečně mnoho hodnot.

Pokud máme tedy komplexní číslo (A i b jsou reálná) $x = Ae^{ib}$ , je jeho logaritmus celkem přirozeně $\ln x = \ln A +ib + i(n\cdot 2\pi)$

Je tam to n x 2PI, pokud zvýšíme hodnotu b o 2PI, původní x se nám nezmění.

Pokud se s tímto dokážeme vypořádat, lze rovnici řešit v komplexním oboru, kde žádné omezení definičního oboru není, ani pro logaritmy, ani pro odmocniny (snad až na bod 0). Pak z toho můžeme nakonec vybrat jen reálná řešní (jsou li jaká) a tvrdit, že rovnici "v nějakém smyslu" splňují.

Třeba u lineárních diferenciálních rovnic se to dělá běžně, že se hledá řešení v komplexním oboru, a pak se vyberou jen ta reálná. Je to mnohem jednodušší, než hledat ta reálná řešení přímo (vlastně ani nevím, jak by se to dělalo).

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2018 12:58

Podmínky u logaritmů

#2 20. 09. 2018 13:01

Re: Podmínky u logaritmů

#3 20. 09. 2018 13:19

Re: Podmínky u logaritmů

#4 20. 09. 2018 18:36

Re: Podmínky u logaritmů

Zápatí