Matematické Fórum

scissorhandedly · 28. 09. 2018 11:33

Dobrý deň, vie prosím niekto, ako sa dokazujú tieto tvrdenia? V zadaní je ešte napísané: pozor, odvodenie pravdivého výroku z danej nerovnosti ešte nie je jej dôkazom.

1. $\text{nech a} \in \mathbb{R}, b>0, c>0, a<b; \text{ potom } \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$
2. $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \text{ab + bc + ac}$

Díky! $$$$

Davisek

1. Jelikoz $b > 0 \wedge c > 0 \implies b+c > 0$ tak muzes rovnici vynasobit cislem $b(b+c)$ a znamenko nerovnosti se nezmeni.

2. Vyuzijeme tohoto faktu,

pro libovolne dve cisla $x, y$ plati ze $\exists z \in \mathbb{R} : x = y+z$

Vyjadrime tedy cisla $b$ a $c$ pomoci cisla $a$ , takto

$b = a + k, k \in \mathbb{R}$
$c = a + l, l \in \mathbb{R}$

Dosazeni do puvodni rovnici, dostanes

$a^2 + (a+k)^2 + (a+l)^2 \geq a(a+k)+(a+k)(a+l)+a(a+l)$

laszky · 28. 09. 2018 13:25

↑ scissorhandedly:

Ahoj, u te dvojky si rozepis vyraz vlevo jako

$\left(\frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2}b^{2}\right) + \left(\frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{2}c^{2}\right) + \left(\frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2}c^{2}\right) \geq ab + bc + ac$ .

Potom staci odecist od obou stran nerovnosti $ab + bc + ac$ .

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2018 11:33

Mnozin, realne cisla -- dokazy (Opravene)

#2 28. 09. 2018 12:10 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: Nevšimol som si, že je to duplicita.

#3 28. 09. 2018 12:27 — Editoval Davisek (28. 09. 2018 13:11)

Re: Mnozin, realne cisla -- dokazy (Opravene)

#4 28. 09. 2018 13:25

Re: Mnozin, realne cisla -- dokazy (Opravene)

Zápatí