Matematické Fórum

Mám tu ještě jeden příklad, kdy jsem si schopná zdůvodnit, že množina je i otevřená i uzavřená:

Uvažujme vektorový prostor X=C([0,1]) všech reálných spojitých funkcí na intervalu [0,1] se supremovou normou. Jeho podmnožina MX je tvořena všemi konstantními funkcemi na intervalu [0,1]. Je množina M otevřená/uzavřená? Jak vypadá její vnitřek a uzávěr?

Přijde mi, že množina M může být i otevřená i uzavřená. Otevřená proto, že tam pro všechny body funkce fM existuje poloměr r takový, že koule o středu f a poloměru r náleží M. Jenže tenhle poloměr se mi nedaří vyjádřit.

Pro uzavřenou množinu zase mluví to, že konstanta c, která zadává konstantní funkci, je z oboru reálných čísel tedy , a proto množina je v množině reálných čísel uzavřená. Ale dokážu pak najít limitu posloupnosti konstantních funkcí? To by mělo být dle volby posloupnosti, ale nekonečno přece neleží v této množině, ale na její hranici.

Tak já už vážně nevím, přemýšlím nad tím celý den a k ničemu kloudnému jsem nedošla.