Matematické Fórum

Ma1ema1ika · 11. 10. 2018 17:56

Dobrý den,

mám dotaz, zda mám správný postup u následujícího příkladu:

Máme řadu celých čísel od 0 do 12. Chceme postupně dojít z čísla 0 do čísla 12. Pravděpodobnost, že se dostaneme z 0 do 1 je rovna 1. Pravděpodobnost, že se z 1 dostaneme do 2 je 0,5, protože je možné vrátit se i zpět do 0. Pro postup do čísla 3 tedy už musíme uvažovat pravděpodobnost 0,25 atd.

Jaká je střední hodnota počtu "kroků" potřebných k dojití z 0 do 12?

Můj postup je následující:

Použijeme binomické rozdělení, tedy:

Celkový počet kroků: 12
$0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 7 \rightarrow 8 \rightarrow 9 \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 12$

Rozepsáno:
Z 0 do 1 se dostaneme s pravděpodobností $P(1) = 1$
Z 1 do 2 $P(2) = {12 \choose 1}*(\frac{1}{2})^{1}*({\frac{1}{2}})^{11}$
Z 2 do 3 $P(3) = {12 \choose 2}*(\frac{1}{2})^{2}*({\frac{1}{2}})^{10}$
Z 3 do 4 $P(4) = {12 \choose 3}*(\frac{1}{2})^{3}*({\frac{1}{2}})^{9}$
Ze 4 do 5 $P(5) = {12 \choose 4}*(\frac{1}{2})^{4}*({\frac{1}{2}})^{8}$
Z 5 do 6 $P(6) = {12 \choose 5}*(\frac{1}{2})^{5}*({\frac{1}{2}})^{7}$
Ze 6 do 7 $P(7) = {12 \choose 6}*(\frac{1}{2})^{6}*({\frac{1}{2}})^{6}$
Ze 7 do 8 $P(8) = {12 \choose 7}*(\frac{1}{2})^{7}*({\frac{1}{2}})^{5}$
Z 8 do 9 $P(9) = {12 \choose 8}*(\frac{1}{2})^{8}*({\frac{1}{2}})^{4}$
Z 9 do 10 $P(10) = {12 \choose 9}*(\frac{1}{2})^{9}*({\frac{1}{2}})^{3}$
Z 10 do 11 $P(11) = {12 \choose 10}*(\frac{1}{2})^{10}*({\frac{1}{2}})^{2}$
Z 11 do 12 $P(12) = {12 \choose 11}*(\frac{1}{2})^{11}*({\frac{1}{2}})^{1}$

Teď vypočteme střední hodnotu:

$1*1+12*2*\frac{1}{2048}+66*3\frac{1}{2048}+220*4\frac{1}{2048}\\ +495*5\frac{1}{2048}+792*6*\frac{1}{2048}+924*7*\frac{1}{2048}\\ +792*8*\frac{1}{2048}+495*9*\frac{1}{2048}\\+220*10*\frac{1}{2048}+66*11*\frac{1}{2048}+12*12*\frac{1}{2048}$

Celková suma vychází $\frac{15353}{1024} \doteq 15$ , což je poměrně malé číslo. "Pravděpodobně" se budeme muset vracet více než 3krát.

Můžu se zeptat, kde dělám chybu? Ještě mě napadlo do toho zakomponovat podmíněné pravděpodobnosti, ale nevím přesně, jakým způsobem by se v tomto případě měla vytvořit.

Mockrát děkuji za jakoukoli pomoc. :)