Matematické Fórum

stereo-total-music

Uvažujme Kartézské souřadnice.

Lagrangián systému s $N$ částicemi je definovaný jako:
$L \equiv \sum_{i=1}^N E_{Ki} - E_P = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}\cdot m_i\cdot (\vec{v}_i\cdot \vec{v}_i) - E_P = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2}\cdot m_i\cdot (v_{xi}\cdot v_{xi} + v_{yi}\cdot v_{yi} + v_{zi}\cdot v_{zi}) - E_P$

Derivace Lagrangianu podle $\vec{v}_i$ je v tom případě:
$\frac{\partial L}{\partial \vec{v}_i} = m_i\cdot \vec{v}_i$

Derivace Lagrangiánu podle polohového vektoru $\vec{r}_i$ je podle mě:
$\frac{\partial L}{\partial x_i} = m_i\cdot v_{xi}\cdot \frac{\partial v_{xi}}{\partial \tau}\cdot \frac{\partial \tau}{\partial x_i} - \frac{\partial E_P}{\partial x_i} = m_i\cdot a_{xi} - \frac{\partial E_P}{\partial x_i}$
$\frac{\partial L}{\partial y_i} = m_i\cdot v_{yi}\cdot \frac{\partial v_{yi}}{\partial \tau}\cdot \frac{\partial \tau}{\partial y_i} - \frac{\partial E_P}{\partial y_i} = m_i\cdot a_{yi} - \frac{\partial E_P}{\partial y_i}$
$\frac{\partial L}{\partial z_i} = m_i\cdot v_{zi}\cdot \frac{\partial v_{zi}}{\partial \tau}\cdot \frac{\partial \tau}{\partial z_i} - \frac{\partial E_P}{\partial z_i} = m_i\cdot a_{zi} - \frac{\partial E_P}{\partial z_i}$
tedy ve vektorovém zápisu:
$\frac{\partial L}{\partial \vec{r}_i} = m_i\cdot \vec{a}_{i} - \frac{\partial E_P}{\partial \vec{r}_i}$

Podle učebnice je však tato derivace rovna pouze zápornému gradientu potenciálu:
$\frac{\partial L}{\partial \vec{r}_i} = - \frac{\partial E_P}{\partial \vec{r}_i}$

Proč tomu tak je?

Pomocí těchto derivací se pak odvodí Euler-Lagrangeova rovnice z druhého Newtonova zákona (uvažuje se konzervativní silové pole):
$0 = m_i\cdot \vec{a}_i - \vec{F} = \frac{\partial}{\partial \tau}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{v}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial \vec{r}_i}$

stereo-total-music · 15. 10. 2018 01:43

Pěkné odvození Euler-Lagrangeovy rovnice pro nekartézské souřadnice je zde.

Euler-Lagrangeova rovnice platí pro Kartézské souřadnice asi pouze v případě, že je nulové zrychlení.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2018 06:14 — Editoval stereo-total-music (13. 10. 2018 04:54)

Odvození vektorové Euler-Lagrangeovy rovnice

#2 15. 10. 2018 01:43

Re: Odvození vektorové Euler-Lagrangeovy rovnice

Zápatí