Matematické Fórum

moab · 26. 10. 2018 12:40

Mějme funkci $f(x)=\mathrm{sign}\,x+x^2+x$ . V bodě $0$ je levostranná derivace $-1$ , pravostranná je $1$ , oboustranná je nevlastní $\infty$ . Funkce je v bodě $0$ rostoucí. Dle (obvyklých) definicí by se jednostranné derivace měly rovnat oboustranné, pokud existují. Ale tady ne. Jak to?

Aspro1 · 26. 10. 2018 13:10 — Editoval Aspro1 (26. 10. 2018 13:24)

Mně vychází, že obě jednostranné derivace v nule jsou +1. Tato funkce má v bodě 0 nespojitost. Oboustranná derivace v nule nemůže být +1 nebo jiné konečné číslo, protože má-li funkce v nějakém bodě konečnou oboustrannou derivaci, potom je nutně v tom bodě spojitá.

Rumburak

↑ moab:

Výrok

"V bodě $c$ existují obě jednostranné derivace funkce $f$ a mají tutéž hodnotu $A$ ."

je ekvivalentní s výrokem

"V bodě $c$ existuje oboustranná derivace funkce $f$ a má hodnotu $A$ ."

Derivaci funkce $f(x)=\mathrm{sign}\,x+x^2+x$ v bodě $0$ spočteme z definice derivace:

$f'_+(0) = \lim_{h \to 0_+ }\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \\ \lim_{h \to 0_+} \frac{\mathrm{(sign}\,h+h^2+h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0_+} \frac{1+h^2+h}{h} = +\infty$ .

Obdobně $f'_-(0) = -\infty$ .

Oboustranná derivace tudíž neexistuje. Pokud nějaký "výpočet" vede k jinému výsledku, pak je chybný.

Aspro1 · 26. 10. 2018 13:42

To jsem asi napsal špatně, není to +1. Jednostranná derivace v nule není totéž jako jednostranná limita oboustranné derivace v nule. Vychází mi však derivace v nule zleva jinak než Rumburakovi, mělo by to také být plus nekonečno.

MichalAld · 26. 10. 2018 14:17

Graf uvedené funkce je takovýto.
Derivace zleva se rovná derivaci zprava (a není to nekonečno). Otázka ovšem je, jestli má funkce díky tomu derivaci v bodě nula, podle mě nemá (neexistuje). Aspoň když na to koukám jako matematik.

Z pohledu technika je derivace v bodě nula Diracův impulz.

Aspro1 · 26. 10. 2018 14:33 — Editoval Aspro1 (26. 10. 2018 14:37)

↑ MichalAld: Jednostranné derivace v nule nejsou plus nekonečno? Neuvažoval jsi místo jednostranných derivací jednostranné limity oboustranné derivace? Připomíná mi to můj vlastní omyl. Jednostranné derivace v nule bych počítal tak jako Rumburak, ale obě by měly být rovné plus nekonečnu.

$f'_+(0) = \lim_{h \to 0+} \frac{(1 + h^2 + h) - 0}{h} = +\infty$ … čitatel jde k číslu 1, jmenovatel k nule v kladných číslech
$f'_-(0) = \lim_{h \to 0-} \frac{(-1 + h^2 + h) - 0}{h} = +\infty$ … čitatel jde k číslu –1, jmenovatel k nule v záporných číslech

moab · 26. 10. 2018 14:36

↑ MichalAld:Omlouvám se všem, jsem vůl. Správně bylo $f(x)=\mathrm{sgn}\,x + x^2 + |x|$ . A tam jsou ty jednostranné derivace opravdu $\pm1$ ...

moab · 26. 10. 2018 14:40

↑ moab:No, hlavně to bude asi v tom rozdílu mezi levostrannou derivací a limitou levostranné derivace...

Aspro1 · 26. 10. 2018 14:48

↑ moab: Limity derivace v nule zleva a zprava jsou –1 a +1. Obě jednostranné derivace v nule jsou $+\infty$ .

MichalAld · 26. 10. 2018 16:54

Aspro1 napsal(a):
↑ MichalAld: Jednostranné derivace v nule nejsou plus nekonečno? Neuvažoval jsi místo jednostranných derivací jednostranné limity oboustranné derivace? Připomíná mi to můj vlastní omyl.

Jo jo, máš pravdu.
Vlastně mě nikdy nenapadlo, že by v tom mohl být nějaký rozdíl.

A po pravdě mi není moc jasné, k čemu takto definované pojmy (derivace zleva a zprava) jsou vlastně dobré. Ale ono to asi jinak moc udělat nejde.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2018 12:40

Vlastnosti funkce v bodě

#2 26. 10. 2018 13:10 — Editoval Aspro1 (26. 10. 2018 13:24)

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#3 26. 10. 2018 13:30 — Editoval Rumburak (26. 10. 2018 13:34)

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#4 26. 10. 2018 13:42

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#5 26. 10. 2018 14:17

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#6 26. 10. 2018 14:33 — Editoval Aspro1 (26. 10. 2018 14:37)

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#7 26. 10. 2018 14:36

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#8 26. 10. 2018 14:40

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#9 26. 10. 2018 14:48

Re: Vlastnosti funkce v bodě

#10 26. 10. 2018 15:14 — Editoval MichalAld (26. 10. 2018 15:16) Příspěvek uživatele MichalAld byl skryt uživatelem MichalAld.

#11 26. 10. 2018 16:54

Re: Vlastnosti funkce v bodě

Aspro1 napsal(a):

Zápatí