Matematické Fórum

Ahoj.
Prosím tě,mně ale vychází,že posloupnost funkcí na polouzavř intervalu konverguje k nule pro každý bod intervalu.Suprema je dosaženo pro x rovno nta odmocnina z jedné poloviny. A když toto x dosadíme do funkce,dostaneme limitu 1/4.,nikoli nula. Tak jak to může konvetgovat lokálně,když je to v bodě nta odmocnina z jedné poloviny?

Je ovsem limita te funkce  pro x rovno jedne,kde n jde do nekonecna rovna jedne?
Tady je x rovno jedne -fyzicky"

Co to vlastně znamená to "konvergovat stejnoměrně, byť lokálně" ?

MichalAld 22:32:

Myslel jsem, že lokálně stejnoměrná konvergence je "slabší" než stejnoměrná konvergence.

↑ 2M70: Ale tobe se nepodarilo ani priblizeni suprem k nulove funkci,( je tam ta 1/4),natoz toho ostatniho.Jeste se na to podivam pozdeji.

A co se týče bodové konvergence - to je takové zvláštní ....



pro všechna x < 1, tedy samozřejmě z našeho intervalu <0, 1), to k nule konverguje díky tomu, že ten vrchol (maximum) funkce se přesune více "doprava". Ale pro x=1 to tak není, tam je důsledkem k
Konvergence to, že pro každé n je to rovné nule.

A řečeno tím "nematematickým" způsobem, někde mezi tím, co končí interval <0, 1) a bodem 1 se musí nacházet ten vrchol funkce. On se vždycky někde nachází, on s rostoucím n nikdy nezmizí. Jen je stále blíže bodu x=1, ale vždy je tam ještě ta sestupná část křivky, z vrcholu až k nule, kde ta nula je přesně v x=1.

Matematicky řečeno - ten vrchlo vždy leží někde v tom intervalu <0, 1), protože mezi ním a bodem 1 už nic není.
Proto to nemůže na intervalu <0, 1) stejnoměrně konvergovat.

Aspoň teda myslím.

2M70 napsal(a):

↑ MichalAld:

K poslednímu řádku: To, že to na intervalu (1-δ; 1) nikdy stejnoměrně konvergovat nebude, nám vlastně vyhovuje, nám jde o stejnoměrnou konvergenci na intervalu <0;  1-δ)

Jenže z toho, že to konverguje na intervalu <0;  1-δ) neplyne, že to konverguje na intervalu <0, 1).

↑ MichalAld:
Ahoj,já mám z toho zatím stejný pocit  jako ty.Ještě si prostuduji něco z literatury. Zatím vidím jediný případ , kdy by pomohlo odstraněnií té jedničky z intervalu,a  mohlo to stejnoměrně konvergovat,a to tehdy,kdyby byla narušena v bodě jedna spojitost funkce,ke které to konverguje.To však není náš případ.V našem přpadě odstranění pouze jedničky stoprocentně nepomůže.Fungovat by to mohlo na množinách,jejichž nejmenší uzavřen množina neobsahuje jedničku.Musela by ovšem suprema konvervgovat k nulove funkci.Aspoň tak to vidm.

Já ještě upozorňuji na to, že nevím, co to je to "konvergovat stejnoměrně, byť lokálně", tedy přesně řečeno, nevím, co znamená to "lokálně".

Pokud jde ovšem jen o stejnoměrnou konvergenci, mělo by to znamenat, že když si zvolím nějakou (povolenou) odchylku n-té funkce od té, ke které to má konvergovat,
takže si zvolím třeba tak musí existovat tak velké n, aby to šlo splnit. Na celém tom intervalu <0, 1).
Takže na celém intervalu musí být odchylka |fn(x) - f(x)| < 0.001.
No a já si myslím, že to prostě nejde. Klidně vymysli nějaké n, které to podle tebe splní, a já ti najdu x, kde to neplatí. Nemůže to platit všude, ten vrchol vždycky někde bude - a nikdy nebude přesně na x=1.

Takže verdikt:

Není pravda, že funkce x^n - x^2n na polouzavřeném intervalu < 0; 1) je stejnoměrně konvergentní / lokálně stejnoměrně konvergentní
?

V každém případě jsem tedy měl špatné "zadání".

Ale ještě jsem koukal, co by to mohlo být, a našel třeba tento dokument:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/v … _stejn.pdf

Jestli to správně chápu, tak lokálně stejnoměrná konvergence znamená, že pro každý bod x0, který si zvolíme, existuje nějaké (byť malé) okolí tohoto bodu, na kterém je funkce stejnoměrně konvergentní.

Protože si musíme zvolit ten bod x0, který v našem případě musí být menší než 1 (máme interval <0, 1)), i jeho okolí si vždy dokážeme zvolit tak, aby končilo méně, než, než ...1).

Je to podle mě v důsledku to samé, jako když řekneme, že funkce stejnoměrně konverguje na intervalu <0, a), nebo <0, a>, kde a < 1. Pro žádnou hodnotu a nedosáhneme toho, aby to odpovídalo intervalu <0, 1).

↑ MichalAld:

Tak to se omlouvám. Ale jak píšu, každý začátek je těžký, nemám ještě s chodem fóra zkušenosti.